Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Achar a massa da curva dada por x = e t cos ⁡ t , y = e t sen ⁡ t , z = e t , 0 ≤ t ≤ 1 , se a densidade em cada ponto é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.

Passo 1

Bem, pra achar a massa não tem erro, é só fazer a integral de linha escalar da densidade, que a gente resolve pela fórmula:

∫ C ρ x , y , z d s = ∫ a b ρ x t , y t , z t σ → ' t d t

Ele já deu a parametrização no enunciado, o que já um adianto, mas a densidade não foi dada explicitamente, então vamos ver como que vai ficar.

Passo 2

Ele diz que a densidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância à origem. No R 3 , essa distância é dada por x 2 + y 2 + z 2 , então a densidade vai ficar:

ρ x , y , z = k x 2 + y 2 + z 2 2 = k x 2 + y 2 + z 2

Sendo esse k uma constante de proporcionalidade.

Com a parametrização dada, a gente tem:

ρ x t , y t , z t = k e t cos ⁡ t 2 + e t sen ⁡ t 2 + e t 2

⇒ k e 2 t cos 2 ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t + e 2 t

⇒ k e 2 t cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + 1

⇒ k 2 e 2 t

Opa, até que ficou tranquilo, no final, né?

Passo 3

Falta também calcular o vetor tangente, vamos ver se damos sorte pra conta nao ser muito grande.

σ → ' t = d x d t , d y d t , d z d t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t , e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t , e t

Eita, pra que isso?? Mas vamos lá, não temos como fugir, vamos confiar que vai simplificar em algum momento...

σ → ' t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t 2 + e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t 2 + e t 2

⇒ e 2 t cos 2 ⁡ t - 2 e 2 t cos ⁡ t sen ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t + 2 e 2 t cos ⁡ t sen ⁡ t + e 2 t cos 2 ⁡ t + e 2 t

Não se assusta que muita coisa vai cancelar aí!

e 2 t 2 cos 2 ⁡ t + 2 sen 2 ⁡ t + 1

⇒ e t 3

Viu, muito mais simples do que parecia!

Passo 4

Agora vamos jogar tudo na fórmula:

∫ a b ρ x t , y t , z t σ → ' t d t = ∫ 0 1 k 2 e 2 t ∙ e t 3   d t

⇒ 3 k 2 ∫ 0 1 e - t d t = 3 k 2 - e - t │ 0 1

⇒ 3 k 2 - e - 1 - 1 = 3 k 2 1 - e - 1

E no final ficou tudo muito mais tranquilo do que a gente esperava, não foi?

Resposta

3 k 2 1 - e - 1

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