Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Calcule

∫ C f x , y , z d s

Onde f x , y , z = x y z e C é a curva interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = R 2 e x 2 + y 2 = R 2 4 situada no primeiro octante.

Passo 1

Vamos lá, temos uma integral de linha escalar no R 3 , então vamos direto pra fórmula:

∫ C f x , y , z d s = ∫ a b f x t , y t , z t σ → ' t d t

Mas a curva é uma interseção de superfícies, então vamos ter um trabalhinho a mais aqui. Vamos ver como que vai ficar!

Passo 2

Primeiro temos que achar a projeção da curva no plano x y , mas como aqui temos um cilindro, a projeção já vai ser ele mesmo, então vamos ficar com:

x 2 + y 2 = R 2 4

⇒ σ → t = R 2 cos ⁡ t , R 2 sen ⁡ t

Da outra superfície, nós podemos tirar que:

z = ± R 2 - x 2 + y 2 → z = ± R 2 - R 2 4 cos 2 ⁡ t + R 2 4 sen 2 ⁡ t

⇒ z ± R 2 - R 2 4 → z = ± R 3 2

Como ele quer só o pedaço no primeiro octante, então temos só o z positivo e, também, sabemos que 0 ≤ t ≤ π 2 . E a parametrização completa fica:

C : σ → t = R 2 cos ⁡ t , R 2 sen ⁡ t , R 3 2 ,       0 ≤ t ≤ π 2

Passo 3

Agora vamos encontrar o módulo do vetor tangente. Vamos ter:

σ → ' t = d x d t , d y d t , d z d t = - R 2 sen ⁡ t , R 2 cos ⁡ t , 0

E o módulo vai ficar:

σ → ' t = - R 2 sen ⁡ t 2 + R 2 cos ⁡ t 2 + 0 2 = R 2 4 sen 2 ⁡ t + R 2 4 cos 2 ⁡ t

⇒ R 2

Passo 4

Agora vamos só jogar tudo na fórmula que tínhamos lá em cima. Mas só pra lembrar:

f x , y , z = x y z = R 2 cos ⁡ t ∙ R 2 sen ⁡ t ∙ R 3 2

⇒ R 3 3 8 cos ⁡ t sen ⁡ t = R 3 3 16 sen ⁡ 2 t

Então, vamos ficar com:

∫ a b f x t , y t , z t σ → ' t d t = ∫ 0 π 2 R 3 3 16 sen ⁡ 2 t R 2 d t

Que simplesmente fica:

R 4 3 32 - cos ⁡ 2 t 2 │ 0 π 2 = R 4 3 32 - - 1 - 1 2

⇒ R 4 3 32  

Sem mistério! O mais chato foi parametrizar a curva, mas nem isso foi dos piores.

Resposta

R 4 3 32

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