Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

1)

  1. Calcule a massa do arame γ t = 2 t ,   t 2 ,   t 2 ,     t ∈ 0 ,   1 com densidade δ x ,   y ,   z = x

Passo 1

Para calcular a massa de um arame, o que vamos fazer não é nada mais nada menos do que resolver uma integral de linha:

M a s s a = ∫ C   δ x ,   y ,   z ⋅ d s

E resolver essa integral, significa resolver o passo a passo de integrais de linha escalar:

1º - Parametrizar a curva.

2º - Encontrar o termo d s

3° - Determinar a função de densidade nos termos da parametrização.

Então me acompanha!

Passo 2

Bem, para a nossa alegria, parametrizar a curva não será preciso aqui, afinal já a possuímos parametrizada:

γ t = 2 t ,   t 2 ,   t 2 ,     t ∈ 0 ,   1

Então vamos pular para determinar o termo d s ...

d s = γ ' t d t

Derivando...

γ ' t = 2,2 t ,   2 t

e extraindo módulo...

γ ' t = 4 + 4 t 2 + 4 t 2

γ ' t = 2 1 + 2 t 2

Então...

d s = 2 1 + 2 t 2   d t

Passo 3

A função de densidade pedida é...

δ x ,   y ,   z = x

Como na parametrização γ t = 2 t ,   t 2 ,   t 2 , x virou 2 t , basta mudar...

δ γ t = 2 t

Passo 4

Retornando então à integral de linha...

M a s s a = ∫ C   δ x ,   y ,   z ⋅ d s

E substituindo tudo...

∫ 0 1 2 t ⋅ 2 1 + 2 t 2   d t = ∫ 0 1 4 t 1 + 2 t 2   d t

Fazendo uma substituição...

1 + 2 t 2 = u     →           d u = 4 t d t

E substituindo também os limites...

t = 0               →               u = 1 + 2 ⋅ 0 2 = 1

t = 1               →               u = 1 + 2 ⋅ 1 2 = 3

∫ 0 1 4 t 1 + 2 t 2   d t = ∫ 1 3 u   d u =

2 3 u 3 2 1 3 = 2 3 u u 1 3 =

2 3 - 2 3

Resposta

2 3 - 2 3

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