Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Calcule

∫ C   x y z d s

Onde C é a hélice r t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   3 t ,   0 ≤ t ≤ 4 π .

Passo 1

Vamos montar a integral:

∫ C   f d s = ∫ a b f x t , y t , z ( t ) r → ' t d t

Como já temos a parametrização de C , precisamos agora encontrar r → ' t :

r → ' t = d ( cos ⁡ t ) d t ,   d ( s e n   t ) d t , d ( 3 t ) d t = - s e n   t , cos ⁡ t , 3

Passo 2

Agora, nós calculamos r → ' t :

r → ' t = cos 2 ⁡ t + s e n 2 t + 9

= 10

Passo 3

Agora, nós escrevemos o campo f ( x , y , z ) em função da parametrização de C :

f x t , y t , z ( t ) = 3 t   s e n   t cos ⁡ t

E substituímos o que encontramos na integral

∫ C   x y z   d s = ∫ 0 4 π 3 t   s e n   t cos ⁡ t 10 d t

= 3 10 ∫ 0 4 π t   s e n   t cos ⁡ t d t =

Agora vamos ter que integrar isso aí por partes:

t = u           →           u ' = 1

s e n   t cos ⁡ t = v '             →           v = - cos 2 ⁡ t 4

3 10 ∫ 0 4 π t   s e n   t cos ⁡ t d t = 3 10 - t cos 2 ⁡ t 4 0 4 π + 1 4 ∫ 0 4 π cos 2 ⁡ t d t

3 10 ∫ 0 4 π t   s e n   t cos ⁡ t d t = - 3 π 10 + 3 4 10 ∫ 0 4 π cos 2 ⁡ t d t

Integrando:

∫ 0 4 π cos 2 ⁡ t d t = s e n 2   t 2 0 4 π = 0

3 10 ∫ 0 4 π t   s e n   t cos ⁡ t d t = - 3 π 10

Resposta

- 3 π 10

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