Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Seja C a curva regular dada pela interseção das superfícies x 2 + y 2 = 1 ,   z ≥ - 1   e   x - z = 1 .

a) Faça um esboço das superfícies e da curva regular C .

b) Descreva uma parametrização regular α t de C ( d i c a :   E s b o c e   a   p r o j e ç ã o   o r t o g o n a l   d e   C   n o   p l a n o   x y )

c) Calcule as equações implícitas da reta tangente à parametrização α t = x t ,   y t ,   z t , t ∈ a , b onde a componente x ( t ) atinge seu máximo.

d) Calcule a integral de linha.

∫ C - 3 x y 2 + z + 1 2 d s

Passo 1

Letra a)

Vamos começar pela equação da superfície x 2 + y 2 = 1

Se estivéssemos no R 2 , teríamos uma circunferência, certo?? Mas como estamos no R 3 , o fato de z   não aparecer na nossa equação significa que para qualquer valor de z , essa equação ainda é válida, ou seja, teremos infinitas circunferências ao longo de z o que configura um cilindro

Indo agora para a nossa inequação z ≥ - 1

Se fosse uma equação z = - 1 , seria um plano paralelo a X Y e que corta em z = - 1 . Como temos essa desigualdade , isso significa que é toda a região acima desse plano

Para x - z = 1 , o melhor é considerar como se estivéssemos no R 2 , isso seria uma reta no plano x z . Como se trata do R 3 e como não temos y na equação, então teremos infinitas retas ao longo de y o que caracteriza um plano

Juntando tudo temos

Passo 2

Passo 3

Letra b)

Utilizando coordenadas polares pensando só no cilindro projetado no plano x y

α t = cos ⁡ t , s e n t ,   t ∈ 0,2 π

Agora que temos o plano x - z = 1 cortando o cilindro, a parametrização dessa intersecção vai ser

α t = cos ⁡ t , s e n t , cos ⁡ t - 1 ,   t ∈ [ 0,2 π ]

O que eu fiz foi isolar z e substituir x = c o s ⁡ ( t )

Como temos a equação z ≥ - 1 como restrição, vamos substituir na coordenada z da parametrização

cos ⁡ t - 1 ≥ - 1

cos ⁡ t ≥ 0

Os valores de t que satisfazem essa inequação são

t ∈ - π 2 , π 2

A parametrização da curva então é:

α t = cos ⁡ t , s e n t , cos ⁡ t - 1 ,   t ∈ [ - π 2 , π 2 ]

Passo 4

Letra c)

Como a parametrização da curva é:

α t = cos ⁡ t , s e n t , cos ⁡ t - 1 ,   t ∈ [ - π 2 , π 2 ]

O valor de t para o qual x ( t ) é máximo é t = 0 , pois cos ⁡ 0 = 1

Para encontrar uma reta tangente a esse ponto precisamos primeiro encontrar um vetor tangente, que é só calcularmos a derivada da parametrização de α ( t ) nesse ponto.

α ' t = - s e n t , cos ⁡ t , - s e n t ,   t ∈ [ - π 2 , π 2 ]

Para t = 0 :

α ' 0 = 0 , 1 , 0

Agora a equação paramétrica da reta vai ser:

P t = 0 + α ' 0 t = 1 , t , 0

As equações implícitas são:

x t = 1

y t = t

z t = 0

Passo 5

Letra d)

A integral que a questão está pedindo é uma integral de linha de uma função escalar ao longo da curva C .

Podemos calcular ela dessa forma aqui:

∫ C f ( x , y )   d s = ∫ a b f α t . α ' t d t

Onde C   está parametrizada por:

α t = cos ⁡ t , s e n t , cos ⁡ t - 1 ,   t ∈ [ - π 2 , π 2 ]

E

α ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

Que é o módulo da derivada da parametrização da curva.

Resolvendo para o α da questão:

α ' t = d ( cos ⁡ t ) d t 2 + d ( s e n t ) d t 2 + d ( cos ⁡ t - 1 ) d t 2

α ' t = - s e n t 2 + cos ⁡ t 2 + - s e n ( t ) 2

Usando que s e n 2 t + cos 2 ⁡ ( t ) = 1

α ' t = s e n ( t )

Substituindo na integral de linha:

∫ α f ( x , y )   d s = ∫ 0 2 π 6 2 cos ⁡ t   s e n t 4 s e n 2 t + 1 d t

Passo 6

Passo 7

Substituindo na equação da integral de linha, os valores para a parametrização da curva C :

∫ C - 3 x y 2 + z + 1 2 d s = ∫ a b f α t . α ' t d t

= ∫ - π 2 π 2 - 3 cos ⁡ t s e n t 2 + ( cos ⁡ t - 1 + 1 2 . s e n t d t

Manipulando um pouco a integral:

= ∫ - π 2 π 2 - 3 cos ⁡ t s e n t 2 + cos ⁡ t 2 . s e n t d t  

= ∫ - π 2 π 2 - 3 cos ⁡ t . s e n t d t

Usando uma substituição simples:

u = s e n ( t ) d u = cos ⁡ t d t t = - π 2 → u = - 1 t = π 2 → u = 1

= ∫ - 1 1 - 3 u d u = - 3 u 2 2 - 1 1 = - 3 1 2 2 - - 3 - 1 2 2 = 0

Resposta

Letra a)

Letra b) α t = cos ⁡ t , s e n t , cos ⁡ t - 1 ,   t ∈ [ - π 2 , π 2 ]

Letra c)

x t = 1

y t = t

z t = 0

Letra d)

0

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