Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Um arame fino tem a forma da curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 1 + 2 z + x e z = 1 + y , z ≥ 1 . Determine a massa do arame, se a densidade em qualquer ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao plano x z .

Passo 1

Ele pede a massa do arame, ele nada mais é que uma curva com uma densidade variável. A massa vai ser a integral de linha da função densidade, isso porque

d M = ρ d s

M = ∫ C ρ d s

A integral de linha é escalar, então precisamos achar uma parametrização para aplicar na fórmula

M = ∫ a b f x t ,   y t , z t .   | σ → ' |   d t

Essa distância ao plano x z é a coordenada y

f x , y , z = y 2

Passo 2

Temos que achar a curva que queremos parametrizar, vamos achar a interseção

x 2 + y 2 + 1 + y 2 = 1 + 2 1 + y + x

x 2 + y 2 + 1 + 2 y + y 2 = 1 + 2 + 2 y + x

x 2 - x + 2 y 2 = 2

Completando o quadrado

x 2 - x + 1 4 + 2 y 2 = 2 + 1 4

x - 1 2 2 + 2 y 2 = 9 4

x - 1 2 2 9 / 4 + 2 y 2 9 / 4 = 1

x - 1 2 2 9 / 4 + y 2 9 / 8 = 1

Isso é uma elipse, então

x t = 1 2 + 9 4 cos ⁡ t = 1 2 + 3 2 cos ⁡ t

y t = 9 8 sen ⁡ t = 3 2 2 sen ⁡ t

Mas repara que temos uma função em 3 variáveis né? Falta a parametrização do z ,

Lembra que

z = 1 + y

Então

z t = 1 + 3 2 2 sen ⁡ t

Como ele quer z ≥ 1 vamos ter

1 + 3 2 2 sen ⁡ t ≥ 1

sen ⁡ t ≥ 0

Isso faz com que

t ∈ 0 , π

A parametrização vai ser

σ t → = 1 2 + 3 2 cos ⁡ t , 3 2 2 sen ⁡ t , 1 + 3 2 2 sen ⁡ t

Onde t ∈ 0 , π

Passo 3

Vamos calcular σ t → '

σ t → ' = - 3 2 sen ⁡ t , 3 2 2 cos ⁡ t , 3 2 2 sen ⁡ t

Passo 4

Vamos calcular σ t → '

σ t → ' = - 3 2 sen ⁡ t 2 + 3 2 2 cos ⁡ t 2 + 3 2 2 cos ⁡ t 2 = 9 4 sen 2 ⁡ t + 9 8 cos 2 ⁡ t + 9 8 cos 2 ⁡ t

⇒ 9 4 sen 2 ⁡ t + 9 4 cos 2 ⁡ t = 9 4 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 3 2

Passo 5

Substituindo na integral

∫ a b f x t ,   y t .   | σ → ' |   d t = ∫ a b y t 2 .   | σ → ' |   d t

∫ 0 π 3 2 2 sen ⁡ t 2 . 3 2 d t = ∫ 0 π 9 8 . 3 2 sen 2 ⁡ t d t = 27 16 ∫ 0 π sen 2 ⁡ t d t

⇒ 27 16 ∫ 0 π sen 2 ⁡ t d t = 27 16 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 t 2 d t = 27 16 t - sen ⁡ 2 t 2 2 t = 0 2 π =

⇒ 27 16 t 2 - sen ⁡ 2 t 4 t = 0 π = 27 16 π 2 - sen ⁡ 2 . π 4 - 0 2 - sen ⁡ 2.0 4 = 27 16 . π 2 = 27 π 32

Resposta

27 π 32

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