Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde C é dada pela função vetorial r t .

F x ,   y , z = x + y   i + y - z   j + z 2   k   ,                     r t = t 2   i + t 3   j + t 2   k   ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala aí, pessoal! Vamos continuar fazendo nosso trabalho com as integrais de linha, começando por entender o nosso enunciado e garantindo que vamos que entregar tudo que o professor pediu!

O enunciado começou falando a função F :

F x ,   y , z = x + y i + y - z j + z 2   k

E a curva C pela função vetorial:

r t = t 2   i + t 3   j + t 2   k  

E o intervalo da variável t é:

0 ≤ t ≤ 1

Queremos apenas calcular a integral de linha e ela pode ser reescrita como:

∫ C F   .   d r = ∫ a b F r t   .   r ' t   d t

Onde o intervalo de integração [ a , b ] nada mais é do que o intervalo da variável de integração, no nosso caso, a variável é t , logo nosso intervalo de integração é:

a , b = [ 0,1 ]

Logo:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

Passo 2

Agora vamos aplicar o que conhecemos na fórmula! Primeiro vamos separar quem é o valor de x e y através da curva r ( t ) :

r t = t 2   i + t 3   j + t 2   k  

O valor de x é o elemento que acompanha o vetor unitário i :

x = t 2

Enquanto o valor de y é o elemento que acompanha o vetor unitário j :

y = t 3

E por último, o valor de z é o elemento que acompanha o vetor unitário k :

z = t 2

Logo, a função F ( r ( t ) ) pode ser reescrita a partir de F ( x , y , z ) , como:

F x , y , z = x + y i + y - z j + z 2   k

Substituindo os valores, encontramos:

F r t = t 2 + t 3 i + t 3 - t 2 j + t 2 2   k = ( t 3 + t 2 ) i + ( t 3 - t 2 ) j + t 4   k

Então nossa integral se torna:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 1 [ ( t 3 + t 2 ) i + ( t 3 - t 2 ) j + t 4   k ] .   r ' t   d t

Para completar a integral, temos que calcular a derivada r ' ( t ) !

Passo 3

Sabemos que o valor da função vetorial é:

r t = t 2   i + t 3   j + t 2   k  

Derivando essa função:

r ' t = t 2 ' i + t 3 ' j + ( t 2 ) ' k

Derivando individualmente cada parcela:

r ' t = 2 ⋅ t 1 i + 3 ⋅ t 2 j + 2 ⋅ t 1   k

Chegamos em:

r ' t = 2 t   i + 3 t 2   j + 2 t   k

Então, aplicando na nossa integral inicial:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 [ ( t 3 + t 2 ) i + ( t 3 - t 2 ) j + t 4   k ] .   ( 2 t   i + 3 t 2   j + 2 t   k )   d t

Passo 4

Hora de resolver o trabalho que já construímos até aqui:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 [ ( t 3 + t 2 ) i + ( t 3 - t 2 ) j + t 4   k ] .   ( 2 t   i + 3 t 2   j + 2 t   k )   d t

Fazendo o produto escalar, ou seja, multiplicar o primeiro elemento do vetor pelo primeiro elemento do primeiro vetor e somar com o segundo elemento do primeiro vetor com o segundo elemento do segundo vetor:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 t 3 + t 2 ⋅ 2 t + t 3 - t 2 ⋅ 3 t 2 + t 4 ⋅ 2 t   d t

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 2 t 4 + 2 t 3 + 3 t 5 - 3 t 4 + 2 t 5   d t

Simplificando a expressão encontramos a integral:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 5 t 5 - 1 t 4 + 2 t 3   d t

Vamos integrar cada uma das parcelas somando 1 em cada um dos expoentes e dividindo pelo mesmo valor do expoente:

∫ C F   .   d r = 5 t 6 6 - t 5 5 + 2 t 4 4 0 1

Substituindo os valores do intervalo de integração:

∫ C F   .   d r = 5 ⋅ 1 6 6 - 1 5 5 + 2 ⋅ 1 4 4 - 5 ⋅ 0 6 6 - 0 5 5 + 2 ⋅ 0 4 4

∫ C F   .   d r = 5 6 - 1 5 + 1 2 - 0 - 0 + 0 = 25 - 6 + 15 30

∫ C F   .   d r = 34 30

Podemos dividir os dois valores por 2 , então simplificamos em:

∫ C F   .   d r = 17 15

Chegamos no final de nossa integral!

Resposta

17 15

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