Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Questão 1: Calcule ∫ γ   x y   d s , onde γ é dada pela interseção das superfícies x 2 + y 2 = 1 , x 2 + z 2 25 = 1 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , percorrida do ponto 1 ,   0 ,   0 ao ponto 0 ,   1 ,   5 .

Passo 1

Para resolver integrais de linha do modo direto como nos é pedido aqui nesse problema, sempre vamos seguir os três passinhos aqui:

  1. Parametrizar a curva
  2. Trocar os termos da função pelos da parametrização
  3. Encontrar o termo d s

Bora?! :D

Passo 2

Vamos então parametrizar a curva γ , mas por falar nisso, quem é a curva γ ?

Como nos pediu o exercício, a curva é esse trechinho encontrado fazendo a intercessão desse cilindro centrado em z : x 2 + y 2 = 1

com esse outro cilindro centrado em y : x 2 + z 2 25 = 1

Lembre-se que estamos trabalhando com essa parte onde y ≥ 0 e z ≥ 0 , dando pra gente, essa curva aí, oh:

Sacou? :D

Passo 3

Como já comentamos no passo anterior, necessitamos da parametrização da curva. Bem, estamos em cima do cilindro vermelho de equação x 2 + y 2 = 1 .

Para parametrizar uma curva em cima de um cilindro, basta a gente utilizar as primas das coordenadas cilíndricas:

x = R cos ⁡ t

y = R sin ⁡ t

Mas diferentemente das coordenadas cilíndricas para parametrizar uma “linha” precisamos de uma variável apenas, logo esse R desaparece (Vira o raio do cilindro que a curva está sobre)

x = 1 cos ⁡ t

y = 1 sin ⁡ t

Perceba que ainda falta definirmos quem será o z nessa brincadeira. Logo, venha comigo!

Passo 4

Pow, o z , note no esboço da curva C , que ele está na interseção dos dois cilindros

Resolver uma interseção em Matemática é resolver o sistema com as equações das superfícies envolvidas:

x 2 + y 2 = 1 x 2 + z 2 25 = 1

Isolando x 2 na primeira...

x 2 = 1 - y 2

e substituindo na segunda:

y 2 + z 2 = 1           →               1 - y 2 + z 2 25 = 1       →

  - y 2 + z 2 25 =     →

z 2 = 25 y 2

extraindo a raiz...

z = ± 25 y 2 = ± 5 y

como estamos trabalhando com a parte de cima...

z = 5 y

z = 5 sin ⁡ θ =

Logo, a parametrização final é:

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   5 sin ⁡ t

Passo 5

Lembre-se que nunca devemos sair de uma parametrização sem antes dizermos onde o parâmetro, que no caso é o t , est�� variando, heim!

Essa informação, podemos tirar da informação dos pontos que curva varia:

1 ,   0 ,   0         ⇒ E   v a i   a t é …             0 ,   1 ,   5

Substituindo o primeiro ponto na curva:

1 ,   0 ,   0 = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   5 sin ⁡ t

Vemos que o seno tem que ser 0 e o cosseno, 1 , onde isso acontece? Sim! Em 0 ° !

Com o ponto de chegada, encontramos o t de chegada:

0 ,   1 ,   5 = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   5 sin ⁡ t

Novamente, cosseno, 0 , mas o seno, 1 ... t = 90 ° !

Então podemos falar que o t está variando de...

0 ° ≤ t ≤ 90 °

ou...

0 ≤ t ≤ π 2

Passo 6

Devemos agora encontrar o termo d s fazendo

d s =   γ ' t d t

Calculando essa derivada da parametrização γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   5 sin ⁡ t ...

γ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   5 cos ⁡ t

Extraindo o módulo desse vetor derivada

γ ' t = - sin ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 + 5 cos ⁡ t 2 =

γ ' t = sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 25 cos 2 ⁡ t =

γ ' t = 1 + 25 cos 2 ⁡ t

portanto

d s = 1 + 25 cos 2 ⁡ t   d t

Passo 7

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo na função esse x , y e z pelos termos da parametrização:

f x ,   y ,   z = x y   →

Lembrando que γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   5 sin ⁡ t ...

f γ t = cos ⁡ t sin ⁡ t  

Passo 8

Agora basta que peguemos os três ingredientes anteriormente encontrados e substituirmos na integral...

∫ γ   f x ,   y ,   z d s

O γ será substituído pela variação do parâmetro:

∫ γ   f x ,   y ,   z d s = ∫ 0 π 2 cos ⁡ t sin ⁡ t 1 + 25 cos 2 ⁡ t     d t

Agora basta que calculemos esta integral simples que apareceu!

Com uma substituição do tipo...

1 + 25 cos 2 ⁡ t = u   →

d u = - 50 cos ⁡ t sin ⁡ t d t             o u           cos ⁡ t sin ⁡ t d t = - d u 50  

Não se esqueça de substituir os limites heim!

t = 0           →                 u = 1 + 25 cos 2 ⁡ 0 = 26

t = π 2           →                 u = 1 + 25 cos 2 ⁡ π 2 = 1

∫ 0 π 2 cos ⁡ t sin ⁡ t 1 + 25 cos 2 ⁡ t     d t = ∫ 26 1 u     - d u 50

Repara que aqueles limites ficaram trocados... se mudarmos, devemos mudar o sinal da integral...

∫ 1 26 u 50   d u =

1 50 2 3 u 3 2 1 26 =

1 50 2 3 u u 1 26 =

1 75 26 26 - 1

Resposta

1 75 26 26 - 1

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