Enunciado

Seja a curva parametrizada γ → t = cos ⁡ ( t ) , sen ⁡ t ,   2 2 t , 0 ≤ t ≤ 2 π .

  1. Qual a distância, menor possível, do ponto da curva γ para t = π / 2 ao ponto da curva γ para t = 3 π / 2 ?
  2. Considere uma partícula de massa desprezível que percorre a curva γ . Qual seria a distância percorrida sobre a curva γ para a partícula ir do instante t = π / 2 até o instante t = 3 π / 2 ?

Passo 1

A letra b) nos pede para calcularmos a distância percorrida por uma partícula em uma curva γ entre os tempos π 2 ≤ t ≤ 3 π 2 .

Sabemos que o comprimento de arco de uma curvatura γ pode ser expressa por:

S = ∫ a b | |   γ → '   t | | d t

Em que a e b é o intervalo que a partícula percorre e | | γ → ' t | | é a norma da derivada da curva parametrizada.

Como são muitas informações, vamos começar a montar a nossa integral devagar. Primeiramente, os limites de integração são π / 2 e 3 π / 2 . Portanto,

S = ∫ π / 2 3 π / 2 | |   γ → '   t | | d t

Já a derivada da curva parametrizada é:

  γ → ' t = - sen ⁡ ( t ) , cos ⁡ t ,   2 2

E a sua norma é:

γ → ' t = - sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 + 2 2 2 = sen 2 ⁡ ( t ) + cos 2 ⁡ t + 8

γ → ' t = 1 + 8 = 3

Portanto, a nossa integral é:

S = ∫ π / 2 3 π / 2 3 d t

Passo 2

A parte mais difícil da questão já foi resolvida, a qual era obter a integral. Agora, só nos resta resolvê-la! Portanto,

S = ∫ π / 2 3 π / 2 3 d t = 3 t π 2 3 π 2 = 3 ⋅ 3 π 2 - 3 ⋅ π 2

S = 3 π

Portanto, a distância percorrida pela partícula foi 3 π .

Resposta

S = 3 π

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