Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Quando uma curva r t = g t i + h t j + i t k , a ≤ t ≤ b passa pelo domínio de uma função f ( x , y , , z ) no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela função composta f ( g t , h t , i t ) . Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de t = a a t = b , calcula-se a integral de linha de f ( x , y , z ) ao londo da curva.

Portanto ∫ C f x , y , z   d s = ∫ a b f g t , h t , i t   | v t |   d t .

Calcule a integral de linha ∫ C x 2 + y 2 + z 2 onde C é a hélice circular dada por r t = sen ⁡ t i + cos ⁡ t k + t k , 0 ≤ t ≤ 1 .

  1. 1
  2. 2 3 3
  3. 4 2 3
  4. 2
  5. 3 2 4

Passo 1

O enunciado já deu a fórmula que precisamos usar:

∫ C f x , y , z   d s = ∫ a b f g t , h t , i t   | v t |   d t

Então temos três tarefas: (1) Calcular f g t , h t , i t , (2) Calcular   | v t | e (3) Resolver a integral!

Passo 2

Vamos começar com a primeira:

f g t , h t , i t

Nesse caso só precisamos substituir com as seguintes igualdades:

x = sen ⁡ t

y = c o s ⁡ ( t )

z = t

Então:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

f g t , h t , i t = sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 + t 2 = 1 + t 2

Passo 3

Agora vamos calcular | v t | , ou seja, o módulo do vetor velocidade daquela curva r t → .

Para achar a velocidade, precisamos derivar a curva r t → em relação ao tempo:

v t → = d d t r t → = d d t ( sen ⁡ t , cos ⁡ t , t )

d d t sen ⁡ t , cos ⁡ t , y = ( d d t sen ⁡ t , d d t cos ⁡ t , d d t t )

v ( t ) → = ( cos ⁡ t , - sen ⁡ t , 1 )

E agora calculamos o módulo desse vetor, usando essa fórmula:

( a , b , c ) = a 2 + b 2 + c 2

Então:

v ( t ) → = ( cos ⁡ t , - sen ⁡ t , 1 ) = cos ⁡ t 2 + - sen ⁡ t 2 + 1 2

v ( t ) → = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + 1 2 = 1 2 + 1 2 = 2

Passo 4

Agora já podemos calcular a integral:

∫ a b f g t , h t , i t   | v t |   d t = ∫ 0 1 ( 1 + t 2 ) ( 2 )   d t

Sabendo que:

∫ 1 + t 2 d t = t + t 3 3 + C

Então:

2 ∫ 0 1 ( 1 + t 2 )   d t = 2 1 + 1 3 3 - 0 - 0 3 3

2 ∫ 0 1 ( 1 + t 2 )   d t = 4 3 2

Pronto! Esse é o valor da nossa integral.

Resposta

Letra (c).

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