Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde C é dada pela função vetorial r t .

F x ,   y , z = s e n   x   i + cos ⁡ y j + x z   k   ,                     r t = t 3   i - t 2   j + t   k   ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala aí, moçada! Aqui cada flash é uma função vetorial a ser integrada em uma integral de linha 😊 Mas fica tranquilo que vamos fazer mais essa juntinhos!

O enunciado começou falando a função F :

F x ,   y , z = s e n   x   i + cos ⁡ y j + x z   k

E a curva C pela função vetorial:

r t = t 3   i - t 2   j + t   k  

E o intervalo da variável t é:

0 ≤ t ≤ 1

Queremos apenas calcular a integral de linha e ela pode ser reescrita como:

∫ C F   .   d r = ∫ a b F r t   .   r ' t   d t

Onde o intervalo de integração [ a , b ] nada mais é do que o intervalo da variável de integração, no nosso caso, a variável é t , logo nosso intervalo de integração é:

a , b = [ 0,1 ]

Logo podemos escrever nosso problema como:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

Passo 2

Agora vamos aplicar o que conhecemos na fórmula! Primeiro vamos separar quem é o valor de x , y e z através da curva r ( t ) :

r t = t 3   i - t 2   j + t   k  

O valor de x é o elemento que acompanha o vetor unitário i :

x = t 3

Enquanto o valor de y é o elemento que acompanha o vetor unitário j :

y = - t 2

E por último, o valor de z é o elemento que acompanha o vetor unitário k :

z = t

Logo, a função F ( r ( t ) ) pode ser reescrita a partir de F ( x , y , z ) , como:

F x , y , z = s e n   x   i + cos ⁡ y j + x z   k

Substituindo os valores, encontramos:

F r t = s e n t 3   i + c o s - t 2 j + t 3 ⋅ t k = s e n t 3   i + c o s - t 2   j + t 4   k

Então nossa integral se torna:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 1 [ s e n t 3   i + c o s - t 2   j + t 4   k ] .   r ' t   d t

Para completar a integral, temos que calcular a derivada r ' ( t ) !

Passo 3

Sabemos que o valor da função vetorial é:

r t = t 3   i - t 2   j + t   k    

Derivando essa função:

r ' t = t 3 ' i + - t 2 ' j + ( t ) ' k

Derivando individualmente cada parcela:

r ' t = 3 ⋅ t 2 i + - 2 ⋅ t 1 j + 1   k

Chegamos em:

r ' t = 3 t 2   i - 2 t   j + 1   k

Então, aplicando na nossa integral inicial:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 [ s e n t 3   i + c o s - t 2   j + t 4   k ] .   ( 3 t 2   i - 2 t   j + 1   k )   d t

Passo 4

Hora de resolver o trabalho que já construímos até aqui:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 [ s e n t 3   i + c o s - t 2   j + t 4   k ] .   ( 3 t 2   i - 2 t   j + 1   k )   d t

Fazendo o produto escalar, ou seja, multiplicar o primeiro elemento do vetor pelo primeiro elemento do primeiro vetor e somar com o segundo elemento do primeiro vetor com o segundo elemento do segundo vetor:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 s e n t 3 ⋅ 3 t 2 + c o s - t 2 ⋅ - 2 t + t 4 ⋅ 1   d t

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 3 ⋅ t 2 ⋅ s e n t 3 - 2 ⋅ t ⋅ c o s ⁡ ( - t 2 ) + t 4   d t

Resolvendo cada uma das parcelas individualmente:

∫ 0 1 3 ⋅ t 2 ⋅ s e n t 3   d t = - cos ⁡ t 3 0 1

∫ 0 1 - 2 t cos ⁡ t 2 d t = - s e n t 2 0 1

∫ 0 1 t 4 d t = t 5 5 0 1

Voltando a nossa integral inicial:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 3 t 2   s e n t 3 - 2 t cos ⁡ t 2 + t 4 d t = - cos ⁡ t 3 - s e n t 2 + t 5 5 0 1

∫ C F   .   d r = - cos ⁡ 1 3 - s e n   1 2 + 1 5 5 - - cos ⁡ 0 3 - s e n   0 2 + 0 5 5

Calculando cada uma das parcelas:

∫ C F   .   d r = - cos ⁡ 1   - s e n   1 + 1 5 - - cos ⁡ 0 - s e n   0 + 0

∫ C F   .   d r = - cos ⁡ 1   - s e n   ( 1 ) + 1 5 - - 1 - 0 + 0 = 1 5 + 1 - cos ⁡ 1 - s e n ( 1 )

Chegamos no final a uma resposta que nem tem cara de resposta, mas é a verdade dessa questão:

∫ C F   .   d r = 6 5 - cos ⁡ 1 - s e n 1

Resposta

6 5 - s e n   1 - cos ⁡ 1

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