Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Calcule a massa da curva dada pela intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e z = 3 - 2 x , com densidade δ x , y , z = 1 + y 2 .

Passo 1

O problema nos pede a massa do fio, sendo que nos foi dada a densidade de massa δ x , y , z . Sendo d s um comprimento infinitesimal do fio e d m o diferencial de massa, podemos dizer isso aqui:

d m = δ x , y , z d s

Certo? Integrando dos dois lados ao longo da curva γ que representa o fio, temos o seguinte:

M = ∫ γ   δ x , y , z d s

M = ∫ γ   1 + y 2 d s

Então, precisamos resolver essa integral de linha daí.

Passo 2

Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva γ né? Mas que curva é essa? Temos um paraboloide cortado por um plano, o que provavelmente vai nos dar uma elipse no espaço. Vamos susbstituir uma equação na outra:

z = x 2 + y 2 = 3 - 2 x

x + 1 2 + y 2 = 4

Portanto, a projeção da nossa curva no plano x y é uma circunferência de raio 2 deslocada da origem.

Vamos usar coordenadas polares com r = 2 então:

x = r cos ⁡ θ - 1

y = r   s e n   θ

Esse “ - 1 está aí para cancelar o “ + 1 que temos na equação da circunferência quando fazermos a mudança polar

Como, nas coordenadas polares, γ é descrita por r = 2 , temos:

x = 2 cos ⁡ θ - 1

y = 2   s e n   θ

Show, agora ficou faltando a coordenada z , certo? Nós sabemos que z = 3 - 2 x , portanto:

z = 3 - 2 x = 3 - 4 cos ⁡ θ + 2 = 5 - 4 cos ⁡ θ

Então, nossa parametrização é:

σ → ( θ ) = 2 cos ⁡ θ - 1 ,   2   s e n   θ ,   5 - 4 cos ⁡ θ

Como o problema não dá nenhuma outra informação sobre a curva, deduzimos que se trata da circunferência toda, logo, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 3

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d 2 cos ⁡ θ - 1 d θ , d 2 s e n   θ d θ , d 5 - 4 cos ⁡ θ d θ = - 2   s e n   θ , 2 cos ⁡ θ , 4   s e n   θ

Passo 4

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = -   2 s e n   θ 2 + 2 cos ⁡ θ 2 + 4   s e n   θ 2 =

= 4 + 16   s e n 2 θ =

= 2 1 + 4   s e n 2 θ

Passo 5

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo a função densidade nas variáveis da nossa parametrização:

M = ∫ γ   δ x , y , z d s = ∫ a b δ x θ ,   y θ , z θ ⋅   σ → ' d θ

Com a parametrização σ → ( θ ) = 2 cos ⁡ θ - 1 ,   2   s e n   θ ,   5 - 4 cos ⁡ θ

A função que vamos integrar

δ x , y , z = 1 + y 2

Passa a ser

δ x θ , y θ , θ = 1 + 4   s e n 2 θ

Então a integral fica

∫ γ   δ   d s = 2 ∫ 0 2 π 1 + 4   s e n 2 θ 1 + 4   s e n 2 θ   d θ

∫ γ   δ   d s = 2 ∫ 0 2 π 1 + 4   s e n 2 θ   d θ

Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para x na parametrização!

Passo 6

Agora falta resolver a integral né? Precisamos lembrar dessa igualdade aqui:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2  

Levando para a integral

= 2 ∫ 0 2 π 1 + 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ =

= 2 ∫ 0 2 π 3 - 2 cos ⁡ 2 θ d θ =

= 2 3 θ - s e n   2 θ 0 2 π =

= 12 π

Resposta

12 π

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