Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Seja C uma curva espacial dada pela equação vetorial r t = 3 sen ⁡ t , 4 t , 3 cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

(b)Calcule a integral de linha

∫ C x z sen ⁡ y 4 d s

Passo 1

Já temos a parametrização da curva aqui, então o nosso trabalho vai ser descobrir esse termo d s da integral aí, lembra como faz isso?

d S = r ' t d t

Então precisamos derivar a parametrização da curva e calcular seu módulo, depois é só jogar na integral =D

Temos a parametrização

r t = 3 sen ⁡ t , 4 t , 3 cos ⁡ t

A derivada disso é essa aqui

r ' t = 3 cos ⁡ t , 4 , - 3 sen ⁡ t

r ' t = 3 cos ⁡ t 2 + 4 2 + - 3 sen ⁡ t 2

= 9 cos 2 ⁡ t + 9 sen 2 ⁡ t + 16

= 9 + 16 = 5

Logo

d S = r ' t = 5 d t

Passo 2

Antes de colocar na integral, vamos só ver como fica a função que vamos integrar com as novas variáveis

Sendo

r t = 3 sen ⁡ t , 4 t , 3 cos ⁡ t

x = 3 sen ⁡ t

y = 4 t

z = 3 cos ⁡ t

f x , y , z = x z sen ⁡ y 4

Temos que

f t = 3 sen ⁡ t 3 cos ⁡ t sen ⁡ 4 t 4

f t = 9 sen ⁡ t cos ⁡ t sen ⁡ t

f t = 9 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t

Passo 3

Agora sim, com tudo isso na integral, lembrando que os limites de t são

0 ≤ t ≤ 2 π

A integral de linha fica

∫ C x z sen ⁡ y 4 d s = ∫ 0 2 π 9 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t 5 d t

= 45 ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Passo 4

Pra integrar isso aí, vamos fazer uma substituição

u = sen ⁡ t

d u = cos ⁡ t d t

∫ sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t = ∫ u 2 d u

= u 3 3 = sen 3 ⁡ t 3

A integral fica

45 ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

= 45 sen 3 ⁡ t 3 0 2 π = 15 0 - 0 = 0

∫ C x z sen ⁡ y 4 d s = 0

Resposta

0

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