Exercícios Resolvidos de Condutor Carregado

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Enunciado

Um arranjo é formado por uma esfera condutora sólida de raio a , centrada no ponto O na origem, eletrizada com carga – Q envolvida por um casca esférica condutora de raio interno b e externo c também eletrizada com carga – Q , conforme ilustrado na figura abaixo:

  1. Sendo r a distância até a origem O , determine o vetor campo elétrico nas regiões r < a ,   a < r < b , b < r < c e r > c .
  2. Determine a carga em cada uma das superfícies r = a , r = b e r = c na situação de equilíbrio eletrostático. Justifique sua resposta.
  3. Determine as densidades superficiais de carga σ a , σ b e σ c .

Passo 1

a) A primeira coisa que precisamos ver aqui é como as cargas se distribuem sobre as superfícies das esferas. Para isso, dá uma olhada na figura abaixo. Como a esfera de raio a é condutora, a carga – Q dela fica distribuída sobre a sua superfície. A presença dessa carga – Q induz uma carga + Q em r = b na parte da casca esférica maior, como mostra a figura. Por isso, uma carga   - Q adicional vai para a superfície da esfera maior, deixando-a com carga - 2 Q .

Agora que já sabemos como estão distribuídas as cargas sobre cada uma das cascas, vamos encontrar como é o módulo do campo elétrico em cada região. Nesse caso, precisamos nos lembrar de que ao fazermos uma superfície gaussiana, o campo elétrico sobre todos os pontos dessa gaussiana precisa ser o mesmo para utilizarmos a lei de Gauss. No caso do nosso problema aqui, que tem simetria esférica, podemos utilizar essa informação, além do fato de que o campo é sempre paralelo ao vetor   d A → em todos o pontos da gaussiana.

Colocando tudo isso dentro da lei de Gauss, cuja superfície gaussiana é uma esfera de raio r concêntrica, temos que

∮ S E → ⋅ d A → = E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0   ,

de forma que o vetor campo elétrico aponta na direção radial, especificada pelo versor   r ^ .

Pelo fato de o condutor estar em equilíbrio eletrostático, o campo dever ser nulo em seu interior e, portanto,   E → = 0 para r < a . Todo excesso de carga deve estar na superfície do condutor.

Para a < r < b , temos Q i n t = - Q e, portanto,   E → = - Q 4 π ϵ 0 r 2   r ^ ;

Para b < r < c , o campo também deve ser nulo (interior do condutor) e, portanto,   E → = 0 .

Para r > c , temos que Q i n t = - 2 Q e, portanto,   E → = - 2 Q 4 π ϵ 0 r 2   r ^ .

Passo 2

b) A carga induzida nas superfícies r = a , r = b e r = c são, - Q , + Q e - 2 Q , respectivamente.

Passo 3

c) Usando o resultado do item anterior, temos que as densidades superficiais de cargas σ a , σ b e σ c são dadas por

σ a = - Q 4 π a 2     ;     σ b = Q 4 π b 2     ;     σ c = - 2 Q 4 π c 2   ,

respectivamente.

Resposta

  1.  
  2. a < r < b :   E → = - Q 4 π ϵ 0 r 2   r ^   ;

    b < r < c   :     E → = 0   ;

    r > c :     E → = - 2 Q 4 π ϵ 0 r 2   r ^   ;  

  3. A carga induzida nas superfícies r = a , r = b e r = c são, - Q , + Q e - 2 Q , respectivamente .
  4. σ a = - Q 4 π a 2     ;     σ b = Q 4 π b 2     ;     σ c = - 2 Q 4 π c 2   .

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