Exercícios Resolvidos de Condutor Carregado

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Enunciado

(Capítulo 23 – Problemas Adicionais – Exercício 65) Uma carga Q está distribuída uniformemente em uma esfera de raio R. (a) Que fração da carga está contida em uma esfera de raio r = R/2,00? (b) Qual é a razão entre o módulo do campo elétrico no ponto r = R/2,00 e o campo elétrico na superfície da esfera?

Passo 1

E aíí gente, vamos lá pra mais uma??

Temos uma esfera de raio R e carga Q, distribuída uniformemente. No item a, precisamos descobrir qual a fração da carga que está contida em uma nova esfera de raio r   =   R / 2 . Para isso, vamos calcular a densidade de carga da esfera.

ρ = Q V

Igualando essa densidade em r = R e em r = R / 2 , já que a densidade não muda

Então, podemos encontrar a fração Q n o v o Q

Boraaa!

Passo 2

a) Temos

ρ = Q V

Como o volume da esfera é V = 4 / 3 π R 3 :

ρ = Q 4 / 3 π R 3

Utilizando o fato que a densidade de carga não muda, vamos igualar ela antes e depois:

Q n o v o 4 / 3 π R / 2,00 3 = Q 4 / 3 π R 3

Então, a fração será:

Q n o v o Q = 1 / 2,00 3 = 0,125

Passo 3

Agora para o item (b), podemos utilizar a lei de Gauss. É importante lembrar, que a carga total contida na esfera de raio r = R / 2 é Q / 8 , assim:

E . A = q i n t ϵ 0

E A = Q / 8 ε 0

E 4 π R / 2,00 2 = Q / 8 ε 0

E = Q / 8 4 π ε 0 R 2 / 4,00

Então:

E = 1 2 Q 4 π ε 0 R 2

Ou seja, o campo é metade do campo na superfície da esfera.

Resposta

(a) Q n o v o Q = 0,125

(b) E R / 2,00 E R = 1 / 2

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