Exercícios Resolvidos de Condutor Carregado

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Enunciado

Duas cascas esféricas condutoras concêntricas 1 e 2 , têm a disposição indicada na figura abaixo. A casca 1 tem raio interno a , raio externo b e está carregada com uma carga líquida Q 1 L = + 3 μ C . A casca 2 tem raio interno c , raio externo d e está carregada com uma carga líquida desconhecida Q 2 L .

Medidas realizadas no sistema mostram que:

- o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica de raio r = 2 d é igual a ϕ = 7,5 × 10 5   N m 2 / C .

- a densidade de carga na superfície externa da casca 1 é igual a σ 1 e x t = 3 4 π b 2 10 - 6   C m - 2 .

Com estas informações responda aos itens abaixo:

(a) Qual é o valor da carga líquida Q 2 L na casca 2 ?

(b) Encontre o campo elétrico E → nas regiões r < a e b < r < c .

(c) Desenhe as cascas concêntricas e calcule (indicando também no desenho) as distribuições de carga σ nas superfícies internas e externas das duas cascas esféricas.

(d) Considere agora que no centro do sistema das cascas (ponto O ) seja colocada uma carga puntiforme negativa de valor q = - 1,5 μ C . Calcule o novo valor da densidade de carga na superfície externa da casca 2 .

Passo 1

(a)

Sabendo que:

ϕ S * = 7,5 × 10 5 N m 2 C

E que:

Q 1 L = 3 μ C

Devemos lembrar da definição de densidade superficial de carga:

σ 1 e x t = Q 1 e x t A 1 e x t

3 4 π b 2 × 10 - 6   C m 2 = Q 1 e x t 4 π b 2 → Q 1 e x t = 3 μ C

Opa! Concluímos então que:

Q 1 e x t = Q 1 L = 3 μ C

(A única carga presente na casca interna é a carga líquida que está na superfície externa)

Beleza, então como Q 2 i n t = - Q 1 e x t , temos que:

Q 2 i n t = - 3 μ C

E então:

Q 2 L = Q 2 e x t + Q 2 i n t

Mas, pela Lei de Gauss:

ϕ s = Q 2 e x t ε 0 →   Q 2 e x t = 7,5 × 10 5 × 10 - 11 = 7,5 μ C

Voltando na equação anterior, e juntando as duas informações:

7,5 μ C = 3 μ C + Q 2 L → Q 2 L = 7,5 μ C - 3 μ C

Q 2 L = 4,5 μ C

Passo 2

(b) As cascas esféricas são condutoras. Além disso, no interior da casca 1 não há nenhuma carga. Portanto:

E → = 0 em r < a

Para b < r < c podemos usar Gauss. Considerando uma superfície gaussiana esférica S ' ' de raio b < r < c temos:

ϕ S ' ' =   ∮ E →   d A → = Q i ε 0

Onde Q i é a carga envolvida pela superfície S ' ' . Como o campo elétrico é constante em todos os pontos da superfície:

E ∮ d A = Q i ε 0 → E 4 π r 2 = Q i ε 0

Mas Q i = Q 1 L

E → = 3 × 10 - 6 4 π × 10 - 11 r 2 = 3 × 10 5 4 π r 2   N C r ^

Passo 3

c)

Passo 4

Se no centro do sistema de cascas esféricas é colocada uma carga puntiforme q = - 1,5 μ C o novo valor será de σ 2 e x t ' = Q 2 e x t ' 4 π d 2 :

Caminhando de dentro pra fora, temos:

Q ' 1 e x t = q + Q 1 e x t

Q 1 e x t ' = - 1,5 + 3 μ C = 1,5 μ C

Já para dentro da casca 2:

Q 2 i n t ' = - 1,5 μ C

E então, usando que:

Q 2 L ' = Q 2 i n t ' + Q 2 e x t '

Chegamos a:

Q 2 e x t ' =   + 1,5 μ C + 4,5 μ C = 6 μ C

Portanto:

σ 2 e x t ' = 6 4 π d 2 μ C m 2

Resposta

(a) Q 2 L = 4,5 μ C

(b)   E → = 3 × 10 5 4 π r 2   N C r ^

(c) σ 1 i n t = 0

σ 1 e x t = 3 4 π b 2 μ C m 2

σ 2 i n t =   - 3 4 π c 2 μ C m 2

σ 2 e x t = 7,5 4 π d 2 μ C m 2

(d) σ 2 e x t ' = 6 4 π d 2 μ C m 2

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