Enunciado

Uma partícula carregada é mantida no centro de duas cascas esféricas condutores concêntricas cuja seção reta aparece na figura. A figura mostra o fluxo através de uma esfera gaussiana com o centro na partícula em função do raio r da esfera. A escala do eixo vertical é definida por Φ = 150.10 5 N . m 2 C . Determine:

(a) A carga da partícula central.

(b) A carga da casca A

(c) A carga da casca B

Passo 1

Para os raio menores, o fluxo elétrico se encontra estabilizado em - 2 . Φ . Esses fluxos são aqueles gerados pelas menores gaussianas possíveis: aquelas que estão dentro da casca esférica A .

Como essas gaussianas possuem apenas a carga central dentro delas, podemos utilizar com essa informação a lei de Gauss no caso em que Q I N T = Q C E N T R A L

Q C E N T R A L ϵ 0 = Φ D E N T R O = - 1,8 . Φ  

Atenção: olhando o gráfico, vemos que cada escala vale 0 , 2 . Φ pois ocorre uma variação de Φ a cada 5 escalas.

Isolando a carga:

Q C E N T R A L = - 1,8 . Φ . ϵ 0

Passo 2

Quando aumentamos o raio aos poucos, durante um trecho pequeno o fluxo fica igual a 0 . Aqui a gente precisa interpretar. Isso acontece quando a distância r está dentro da casca esférica A ou dentro da casca esférica B .

Nesses casos, o efeito blindagem do metal impede que existam campos elétricos no interior dele e isso acontece porque todas as cargas correm para a superfície numa disposição que zera o campo elétrico dentro das cascas.

Se a carga de dentro valer X , a carga induzida na superfície interior da casca A vale - X como já vimos na parte de indução eletroestática.

O campo dentro da casca precisa ser nulo porque, se não fosse, haveria cargas se movendo no interior da casca, e isso não acontece pois as únicas cargas que encontramos se encontram na parte superficial do metal!

Passo 3

Quando o raio r se encontra entre a menor e a maior casca esférica, o valor de Q I N T precisa incluir tanto a carga de A quanto a carga que está no centro das duas cascas. Por isso, esse tipo de problema tem que ser resolvido de dentro para fora.

Dessa forma a gente consegue encontrar o valor das cargas em cada passo de maneira mais rápida!

Nesse caso:

0,8 . Φ = Q A + Q C E N T R A L ϵ 0 = Q A + ( - 1,8 . Φ . ϵ 0 ) ϵ 0

0,8 . Φ . ϵ 0 = Q A - 1,8 . Φ . ϵ 0 → Q A = 2,6 . Φ . ϵ 0

Passo 4

Depois de aumentar um raio mais um pouquinho, enquanto o raio se encontra dentro da casca esférica B , o fluxo continua dando 0 e a razão é a mesma: o efeito blindagem – o campo elétrico no interior de metais condutores é sempre nulo no equilíbrio.

Agora, quando saímos da segunda casca esférica e chegamos à região mais à direita do gráfico, o fluxo se estabiliza em - 0 , 4 . Φ . Quando aplicarmos o teorema de Gauss agora, devemos incluis as três cargas: das duas cascas e da carga puntiforme lá de dentro. Então:

- 0,4 . Φ = Q A + Q B + Q C E N T R A L ϵ 0 = 2,6 . Φ . ϵ 0 + Q B - 1,8 . Φ . ϵ 0 ϵ 0 = 0,8 . Φ . ϵ 0 + Q B ϵ 0

- 0,4 . Φ . ϵ 0 = 0,8 . Φ . ϵ 0 + Q B → Q B = - 1,2 . Φ . ϵ 0

Passo 5

Só falta agora substituir e correr pro abraço!

Φ = 150.10 5 N . m 2 C

Φ . ϵ 0 = 1,33.10 - 4 C

Q C E N T R A L = - 1,8 . Φ . ϵ 0 = - 2,39.10 - 4 C

Q A = 2,6 . Φ . ϵ 0 = 3,45.10 - 4 C

Q B = - 1,2 . Φ . ϵ 0 = 1,59.10 - 4 C  

Resposta

(a)   Q C E N T R A L = - 1,8 . Φ . ϵ 0 = - 2,39.10 - 4 C

(b)   Q A = 2,6 . Φ . ϵ 0 = 3,45.10 - 4 C

(c) Q B = - 1,2 . Φ . ϵ 0 = 1,59.10 - 4 C  

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