Exercícios Resolvidos de Condutor Carregado

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Enunciado

Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno a e raio externo b , é concêntrica com uma grande esfera oca condutora, com raio interno c e raio externo d , como mostra a Figura abaixo. A carga total sobre a esfera oca interna é igual a + 2 q e a carga total sobre a esfera oca externa é igual a + 4 q . Considerando que o sistema está no equilíbrio eletrostático,

a) Determine o módulo, direção e sentido do campo elétrico em função de r ao centro comum para as regiões

  1. r < a ;
  2. a < r < b ;
  3. b < r < c ;
  4. c < r < d ;
  5. r > d

b) Qual é carga total sobre

  1. a superfície interna da esfera oca pequena;
  2. superfície externa da esfera oca pequena;
  3. a superfície interna da esfera oca grande;
  4. a superfície externa da esfera oca grande?

Passo 1

a) Como ambas as cascas são condutoras, fica mais fácil analisar como fica o campo elétrico em cada região. Por exemplo, como a casca condutora menor tem uma carga positiva de + 2 q , o campo elétrico em toda a região r < b é nulo, já que toda essa carga vai para a superfície da casca condutora menor.

i) e ii) Portanto, tanto para r < a , quanto para a < r < b , o campo elétrico é nulo, ou seja, E = 0 .

iii) Agora, dentro da região b < r < c , existe a carga + 2 q que está sobre a superfície da casca esférica menor. Portanto, o campo nessa região é idêntico àquele que seria produzido caso a carga + 2 q estivesse localizada no centro da Figura. Por isso,

E → = + 2 q 4 π ε 0 r 2   r ^ ,   p a r a   b < r < c   .

Tranquilo??

iv) Continuando, a gente tem também uma outra casca esférica condutora de raio d que possui uma carga total de + 4 q . Mas, de novo, como é uma casca condutora, dentro dela na região c < r < d não há campo elétrico, ou seja, E = 0 para essa região.

v) Por último, na região r > d , se fazemos uma superfície gaussiana esférica englobando as duas cascas, notamos que dentro dessa gaussiana há uma carga total de + 6 q , que é a soma da carga da casca interna com a da casca externa. Por isso, o campo elétrico nesse caso é

E → = + 6 q 4 π ε 0 r 2   r ^ ,   p a r a   r > d   .

Passo 2

b) Para o caso das cargas, como não há campo elétrico na região para r < b ,   então

  1. A carga elétrica é nula;
  2. Já na superfície externa da casca esférica menor, a carga é + 2 q .

Agora, como a casca esférica maior tem uma carga total de + 4 q e existe uma carga + 2 q interna a ela na superfície externa da casca condutora menor, na superfície interna da casca esférica maior (em r = c ) haverá, no equilíbrio eletrostático, uma carga negativa - 2 q que será induzida pela carga que está na casca esférica menor. Blz?

Portanto,

iii) Carga elétrica negativa - 2 q .

Por último, isso significa também que, na superfície externa da casca esférica maior haverá uma carga positiva + 6 q . Só para confirmar, a carga total da casca esférica maior é + 6 q - 2 q = + 4 q , como deveria ser, correto? Então,

iv) Carga elétrica positiva de + 6 q .

Resposta

a)

  1. E = 0 ;
  2. E = 0 ;
  3. E → = + 2 q 4 π ε 0 r 2   r ^ ;
  4. E = 0   ;
  5. E → = + 6 q 4 π ε 0 r 2   r ^   ; ;

b)

  1. Q = 0 ;
  2. Q = + 2 q   ;
  3. Q = - 2 q ;
  4. Q = + 6 q   .

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