Exercícios Resolvidos de Condutor Carregado

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Enunciado

O campo elétrico produzido por uma distribuição esfericamente simétrica de cargas tem a forma  E → = E r r   r ^ , onde r é a distância até a origem de um sistema de coordenadas, que coincide com o centro da distribuição, e  r ^ é o vetor unitário da direção radial. O gráfico E r r   ×   r é mostrado na figura abaixo. Considere que a distribuição se encontra em equilíbrio eletrostático, que a < b < c e que q > 0 .

Sobre essa distribuição, considere as seguintes afirmativas abaixo:

  1. A região 0 < r < a está preenchida por um material isolante uniformemente carregado.
  2. A região a < r < b está preenchida por um material condutor perfeito.
  3. A carga total contida na região 0 < r < c é nula.

São VERDADEIRAS as seguintes afirmativas:

  1. I I
  2. I
  3. I e I I I
  4. I I I
  5. I e I I
  6. I I e I I I
  7. I , I I e I I I
  8. Nenhuma delas.

Passo 1

Vamos começar analisando a afirmação I . Se o material que está nessa região é preenchido por um isolante cuja carga está uniformemente distribuída, então se fizermos uma gaussiana esférica com raio r < a , como está na figura abaixo, a carga que está dentro dessa gaussiana é Q i n t = ρ 4 π r 3 3   .

Como temos simetria esférica, então o campo elétrico produzido pela carga positiva Q i n t terá o mesmo valor sobre todos os pontos da gaussiana e será paralelo ao vetor elemento de área  d A → em todos os pontos dessa superfície.

Por isso, a lei de Gauss vai dar o seguinte:

∮ G E → ⋅ d A → = E r ∮ G d A = E r 4 π r 2 = 4 π r 3 ρ 3 ε 0   .

Quando simplificamos essa expressão, vamos obter que o módulo do campo produzido pela carga positiva dentro de r < a será igual a

E r = ρ r 3 ε 0   ,

que cresce linearmente com a distância r ao centro da esfera. Portanto, a afirmativa I está correta: um isolante uniformemente carregado produz um campo elétrico linear com r na região r < a .

Passo 2

A afirmativa I I está errada, pois, caso na região a < r < b tivesse um condutor perfeito, o campo elétrico seria nulo nesse volume, o que indicaria a ausência de cargas. Porém, se a gente faz uma gaussiana esférica com raio a < r < b , a carga total dentro dessa região é a carga total + q da esfera isolante uniformemente carregada.

Por isso, o campo elétrico que o gráfico mostra para a < r < b decai à medida que a distância aumenta, já que o campo que + q produz é proporcional a 1 / r 2 .

Passo 3

Para analisarmos o item I I I , precisamos dar uma olhada para o gráfico e ver que o campo elétrico na região b < r < c é nulo.

Se fizermos uma gaussiana esférica com raio b < r < c concêntrica à esfera isolante de raio a , como está na figura acima, teremos que ter, pela lei de Gauss, que

∮ G E → ⋅ d A → = 0 = Q i n t ε 0     ⇒   Q i n t = 0   ,

o que mostra que a carga total no interior da região 0 < r < c é zero.

Resposta

Letra c.

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