Exercícios Resolvidos de Condutor Carregado

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Enunciado

Uma esfera isolante maciça de raio R 1 está carregada com uma carga – q . Ela é circundada por uma casca esférica concêntrica, condutora, de raio interno R 1 e raio externo R 2 , que está carregada com uma carga + 2 q de modo que a quantidade de carga na superfície interna é q e na superfície externa é q também.

Assinale a opção que especifica, corretamente o módulo dos campos elétricos nas regiões I ( r < R 1 ), I I ( R 1 < r < R 2 ) e I I I ( r > R 2 )

  1. E I = k q r / R 1 3 ; E I I = 0 ; E I I I = k q / r 2
  2. E I = k q r / R 1 3 ; E I I = 0 ; E I I I = 2 k q / r 2
  3. E I = k q r / R 1 3 ; E I I = - k q / r 2 ; E I I I = k q / r 2
  4. E I = 0 ; E I I = 0 ; E I I I = 2 k q / r 2
  5. E I = k q / r 2 ; E I I = 0 ; E I I I = k q / r 2

Passo 1

- Região I ( r < R 1 )

Vamos escolher como superfície gaussiana uma esfera de raio r < R 1 . Pela lei de Gauss temos

∫ E → I d A → = Q i n t ϵ 0

Como o campo é radial temos

4 π r 2 E I = Q i n t ϵ 0

A carga total dentro dessa esfera de raio r será

Q i n t = ∫ ρ d V

Como a esfera é uniformemente carregada

Q i n t = ρ ∫ d V = ρ 4 3 π r 3  

Já a densidade de carga é dada por

ρ = q V = q 4 3 π R 1 3

Assim

Q i n t = q 4 3 π R 1 3 4 3 π r 3

Q i n t = q r 3 R 1 3

Voltando para o campo elétrico

4 π r 2 E I = Q i n t ϵ 0 = q ϵ 0 r 3 R 1 3

E I = q 4 π ϵ 0 r R 1 3

E I = k q r R 1 3  

Passo 2

- Região I I ( R 1 < r < R 2 )

O campo na região I I é o campo no interior da casca esférica. Como dentro de um condutor o campo tem de ser nulo temos

E I I = 0

Passo 3

- Região I I I ( r > R 2 )

Vamos escolher como superfície gaussiana uma esfera de raio r > R 2 . Pela lei de Gauss temos

∫ E → I I I d A → = Q i n t ϵ 0

Como o campo é radial temos

4 π r 2 E I I I = Q i n t ϵ 0

A carga total dentro dessa esfera de raio r será

Q i n t = q c a s c a + q e s f e r a = 2 q - q

Q i n t = q

De forma que

4 π r 2 E I I I = q ϵ 0

E I I I = q 4 π ϵ 0 r 2

E I I I = k q r 2

Resposta

(A)

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