Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Considerar a série de potências ∑ n = 2 ∞ x n n - 1 n

  1. Determinar o raio de convergência e estudar o comportamento da série nos valores extremos do intervalo aberto de convergência absoluta.
  2. Calcular a função f ( x ) que representa a série no intervalo aberto de convergência absoluta. Sugestão: Usar os resultados de derivação e integração termo a termo e lembrar que uma primitiva da função g t = ln ⁡ t é dada por G t = t ln ⁡ t - t .

Passo 1

Vamos usar o teste da razão para séries de potência para calcular o raio de convergência.

a n = 1 n - 1 n ,     a n + 1 = 1 n n + 1

Calculando o limite

L = lim n → ∞ ⁡ n - 1 n n n + 1 = 1

Logo o raio de convergência será R = 1 L = 1 .

Passo 2

Como a série é centrada no zero temos que o intervalo de convergência absoluta vai de -1 a 1. Dessa forma devemos analisar a convergência nas extremidades do intervalo aberto.

Para x = 1

∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 n

Analisando o termo geral da sequência temos que

0 ≤ 1 n - 1 n ≤ 1 n - 1 2 ,     n ≥ 2  

Como a série abaixo converge.

∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 < + ∞

Temos que, pelo teste da comparação, a série irá convergir para x = 1 .

Passo 3

Para x = - 1 teremos a série alternada abaixo.

∑ n = 2 ∞ - 1 n n - 1 n

Temos que conferir o critério de Leibniz para descobrirmos a convergência dessa sequência. Usando os mesmos a n e a n + 1 que já escrevemos.

  a n + 1 ≤ a n   p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ a n = 0                                            

Com uma simples análise dos termos fica evidente a validade dos critério de Leibniz, logo a série será converge em x = - 1 .

Para determinarmos se a série é absolutamente convergente teremos que olhar a sequência dos valores absolutos que trata-se justamente da sequência analisada no passo 2. Fica então evidente que a série é absolutamente convergente em x = - 1 .

Passo 4

Para o item b vamos seguir a sugestão do problema e calcular a primeira e segunda derivadas da função

f x = ∑ n = 2 ∞ x n n - 1 n ,     f ' x = ∑ n = 2 ∞ x n - 1 n - 1 ,     f ' ' x = ∑ n = 2 ∞ x n - 2    

Da série de f ' ' ( x ) nós já sabemos do nosso conhecimento de séries geométricas que

f ' ' x = ∑ n = 2 ∞ x n - 2 = 1 1 - x    

Então temos a seguinte EDO

f ' ' x = 1 1 - x

E analisando f ' x , temos que f ' 0 = 0

Passo 5

Resolvendo a EDO abaixo

f ' ' x = 1 1 - x ,     f ' 0 = 0

Temos

f ' x = - ln ⁡ ( 1 - x )

Agora teremos a seguinte EDO

f ' x = - ln ⁡ 1 - x ,     f 0 = 0

Resolvendo essa Edo bem simples teremos

f x = - ∫ 0 x ln ⁡ 1 - x d x = ∫ 1 1 - x ln ⁡ t d t = 1 - x ln ⁡ 1 - x - 1 + 1

Resposta

a)Raio de convergência 1 e a série converge em x = 1 e converge absolutamente em x = - 1

b) f x = 1 - x ln ⁡ 1 - x - 1 + 1

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