Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Mostre que a função f : R → R definida por

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Satisfaz a equação diferencial

f ' ' x + f x = 0

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

Temos nossa função

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Ela se parece com uma função muito conhecida nossa! O cosseno!

f x = cos ⁡ x

Beleza? E queremos então mostrar que o cosseno é solução da equação diferencial dasa!

E esse aqui é o pulo do gato!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa equação diferencial

f ' ' x + f x = 0

Aí para uma função ser solução, precisamos substituir a função e as respectivas derivadas na equação e ver se dá certo!

Nossa função

f x = cos ⁡ x

Derivando

f ' x = - sin ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

Beleza?

Passo 3

Agora vamos substituir na equação

f x + f ' ' x = 0

cos ⁡ x - cos ⁡ x = 0

0 = 0

Ok!

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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