Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

A função f ( x ) dada pela série f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

É solução de qual equação diferencial?

  1. y ' ' + x y = 0
  2. y ' ' - y = 0
  3. y ' ' + y ' = 0
  4. y ' ' + y = 0
  5. y ' + y = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função em termos de série

f x = �� n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Você sabe identificar qual é a forma analítica dessa função? Vamos relembrar da série de Maclaurin!

f x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 x 2 2 ! + f ' ' ' 0 x 3 3 ! + …

Quando temos f x = cos ⁡ x , as derivadas aplicadas em zero são

f 0 = cos ⁡ 0 = 1

f ' 0 = - s e n 0 = 0

f ' ' 0 = - cos ⁡ 0 = - 1

f ' ' ' 0 = s e n 0 = 0

f i v = cos ⁡ 0 = 1

E assim por diante

agora vamos identificar o polinômio de Maclaurin e verificar qual série vai resultar

f x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

E é exatamente a série que temos! Eu percebi isso pelo expoente 2 n do x ! O cosseno é uma função par e, portanto, só tem expoentes pares!

Agora que sabemos a forma analítica da função, podemos dar seguimento ao que se pede! Temos que f x = y = cos ⁡ x . Então precisamos descobrir de qual equação diferencial essa exponencial é solução!

Uma função é solução de uma equação diferencial quando, ao substituir a função e suas respectivas derivadas, encontramos uma igualdade! Então a ideia é essa: derivar e ir substituindo em cada uma das alternativas até achar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Como sabemos que nossa solução é a exponencial

y = cos ⁡ x

Precisamos derivar e substituir nas equações diferenciais e verificar se encontramos uma identidade. Bora começar?

y ' = - s e n   x

y ' ' = - cos ⁡ x

Então para que seja solução, precisamos ter pelo menos um sinal positivo na EDO (levando em consideração apenas a solução e a derivada segunda), pois assim vamos ter o corte dos termos, caso contrário eles irão se somar e não vai resultar em uma identidade

Beleza?

Vamos testar a EDO da letra (a)

y ' ' + x y = 0

Sendo y = cos ⁡ x , y ' ' = - cos ⁡ x

- cos ⁡ x + x cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x ( x - 1 ) = 0

Temos alguns pontos onde essa equação é satisfeita, mas isso não faz com que nosso y = cos ⁡ x   seja solução dessa EDO, precisamos encontrar uma identidade do tipo 0 = 0 . Portanto, a equação da letra (a) não a que estamos procurando

Passo 3

Agora que você entendeu o mecanismo, vou pular lá para a EDO da letra (d):

y ' ' + y = 0

Como y ' ' = - cos ⁡ x , y = cos ⁡ x , substituindo temos

- cos ⁡ x + cos ⁡ x = 0

0 = 0

Ok! Encontramos uma identidade! Isso nos diz que y = cos ⁡ x é solução da equação diferencial y ' ' + y = 0 !

E a alternativa que nos diz isso é a (d)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( d )

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