Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

Ver Teoria

Enunciado

A expansão em série de potências centrada no 0 da função f x = ln ⁡ 1 + 3 x 2 e seu respectivo intervalo de convergência I são:

a   ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 3 n x 2 n 2 n ,     p a r a   I = - 3 3 , 3 3

b   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 ,     p a r a   I = - 3 3 , 3 3

c   ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 3 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 ,     p a r a   I = ] - 3 3 , 3 3 [

d   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n + 1 x 2 n + 2 2 n + 2 ,     p a r a   I = ] - 3 3 , 3 3 ]

e   ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 3 n x 2 n 2 n ,     p a r a   I = [ - 3 3 , 3 3 [

Passo 1

Bom, quando a gente se depara com uma função logaritmo e quer escrevê-la em série, o que temos que fazer é derivá-la primeiramente:

f x = ln ⁡ 1 + 3 x 2

f ' x = 1 1 + 3 x 2 1 + 3 x 2 ' = 1 1 + 3 x 2 1 2 1 1 + 3 x 2 6 x

f ' x = 3 x 1 + 3 x 2

Passo 2

E agora a nossa intenção é escrever essa derivada da seguinte maneira:

f ' x = 3 x 1 1 - - 3 x 2

Porque sabe-se que a série geométrica é da forma:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n ,     p a r a   x < 1

Olhando pro nosso caso:

3 x 1 1 - - 3 x 2 = 3 x ∑ n = 0 ∞ - 3 x 2 n ,     p a r a   - 3 x 2 < 1

Vamos arrumar nosso somatório:

f ' x = 3 x ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n x 2 n ,     p a r a   x < 3 3

Olha ali, já temos o nosso raio de convergência. Daqui a pouco vamos calcular o intervalo!

f ' x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 x 2 n + 1 ,     p a r a   x < 3 3

Passo 3

Agora, o que nos interessa saber é f ( x ) . Então vamos integrar em ambos os lados da equação:

∫ f ' x d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 x 2 n + 1 d x

f x = ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n 3 n + 1 x 2 n + 1 d x

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 x 2 n + 2 2 n + 2

Passo 4

Partiremos para encontrar o intervalo. Só precisamos substituir os valores dos extremos do intervalo na série e ver se ela converge ou diverge para esses valores:

Para x = - 3 3 :

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 - 3 3 2 n + 2 2 n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 - 3 3 2 n + 1 2 n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 1 3 n + 1 2 n + 2

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 3 n + 1 1 2 n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 2

Aplicado o teste da série alternada:

b n = 1 2 n + 2

Note que:

b n + 1 < b n

Além disso:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 2 = 0

Pelo teste da série alternada, a série converge para x = - 3 3

Passo 5

Se você substituir x = 3 3 :

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 3 3 2 n + 2 2 n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 3 3 2 n + 1 2 n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 1 3 n + 1 2 n + 2

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n + 1 3 n + 1 1 2 n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 2

Repara que ela é igualzinha a série do passo 4 que a gente acabou de ver que é convergente.

Passo 6

Beleza, parece tudo muito bonito, mas se você observar, não tem essa resposta nas opções.

Mas não se preocupe, basta fazer uma mudança no n que vai ficar tudo certinho.

Vamos substituir n por n - 1 naquela série que encontramos como resposta, ok?

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1 + 1 x 2 n - 1 + 2 2 n - 1 + 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n x 2 n 2 n

Tá muuuuito parecido com a letra ( a ) , mas tem aquele termo - 1 n + 1 , sendo que na nossa série é - 1 n - 1 . Cara, eles são a mesma coisa! Eles representam a mesma coisa! Então a gente pode substituir:

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 3 n x 2 n 2 n ,     p a r a   I = - 3 3 , 3 3

Resposta

( a ) ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 3 n x 2 n 2 n ,     p a r a   I = - 3 3 , 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta? f x = ln ⁡ ( x 2 + 4 )
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ t g - 1 ( x 2 ) d x
Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta? f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 - x 3
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 t g - 1 ( x 3 )