Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Considere a equação diferencial ordinária:

3 x y ' ' + y ' + 2 x y = 0

c) Determine a relação de recorrência da solução em série de potências em torno de x = 0 associada à maior das duas raízes da equação indicial.

Passo 1

Letra c)

Para determinar a relação de recorrência, consideremos uma solução da forma:

y x =   x 2 / 3 ∑ n = 0 ∞ a n x n =   ∑ n = 0 ∞ a n x n + 2 / 3

com a0 0. As derivadas são:

y ' x =   ∑ n = 0 ∞ n + 2 3 a n x n + 2 3 - 1

y ' ' x =   ∑ n = 0 ∞ n + 2 3 ( n + 2 3 - 1 ) a n x n + 2 3 - 2

Substituindo na equação diferencial ordinária 3 x y ' ' + y ' + 2 x y = 0   :

∑ n = 0 ∞ 3 n + 2 3 n - 1 3 a n x n - 1 3 + ∑ n = 0 ∞ n + 2 3 A n   x n - 1 / 3 + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + 5 / 3 = 0

Manipulando para que todos os expoentes do x fiquem iguais, temos:

∑ n = 0 ∞ 3 n + 2 3 n - 1 3 a n x n - 1 3 + ∑ n = 0 ∞ n + 2 3 a n x n - 1 / 3 + ∑ n = 2 ∞ 2 a n - 2 x n - 1 / 3 = 0

Resolvendo a EDO por série de potências, chegamos a:

5 a 1 +   ∑ n = 2 ∞ 3 n n + 2 3 a n + 2 a n - 2 x n - 1 3 = 0

A relação de recorrência associada a raiz r = 2/3 é an= - 2 a n - 2 3 n ( n + 2 3 ) , para n ≥ 2 . Também observamos que é necessário ter a1=0.

Resposta

c) an= - 2 a n - 2 3 n ( n + 2 3 )

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