Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

Ver Teoria

Enunciado

3 . Considere a função

g x = ln ⁡ ( 16 + x 2 )

Escreva g como série de potências

∑ n = 1 ∞ c n x - a n

centrada em a = 0 utilizando duas técnicas distintas e encontre intervalo de convergência. Primeiro, recorra à função

f y = 1 1 - y

Em seguida, utilize as técnicas pertencentes à série de Maclaurin.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Temos que expressar a função g ( x ) como uma série de potências. E ele quer a gente chegue nisso usando duas técnicas combinadas.

Primeiro vamos usar que a derivada da função g ( x ) é dada por:

g ' x = 2 x ( 16 + x 2 )

Então podemos encontrar a essa função g ' escrita na forma de série usando técnicas pertencentes à série de Maclaurin, que nada mais é que a série de Taylor com a = 0 , ela tem a seguinte cara:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) n ! x n

Então a gente expande g ' ( x ) nessa forma e tenta achar uma fórmula geral para ela.

A gente tendo essa fórmula geral a gente integral ela, já que:

ln ⁡ ( 16 + x 2 ) = ∫ 2 x ( 16 + x 2 )

E assim encontramos a série que representa g ( x ) .

Depois para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o teste da razão, onde temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Vamos aplicar isso ao que temos e ver os intervalos de x para que isso seja verdade.

Vamos nessa então!

Passo 2

Vamos abrir a função g ' ( x ) como uma série de Maclaurin, temos o seguinte:

∑ n = 0 ∞ g n ( 0 ) n ! x n = 0 + x 8 + 0 - x 3 128 + 0 + x 5 2048 + 0 - x 7 32768 + 0 + x 9 524288 + …

= x 8 - x 3 128 + x 5 2048 - x 7 32768 + x 9 524288 - …

Olhando essa série podemos escrever ela como o seguinte termo geral:

2 x ( 16 + x 2 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 8 16 n

Passo 3

Agora vamos integrar os dois lados da equação que chegamos no passo anterior, temos:

∫ 2 x ( 16 + x 2 )   d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 8 16 n

⇒ ∫ 2 x ( 16 + x 2 )   d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n x 2 n + 1 8 16 n   d x

Integrando, temos:

ln ⁡ ( 16 + x 2 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 8 ( 2 n + 2 ) 16 n

Essa então é a função g ( x ) escrita na forma de série.

Passo 4

Agora vamos achar o intervalo de convergência. Vamos usar o teste a razão ao nosso favor.

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x 2 ( n + 1 ) + 2 8 ( 2 ( n + 1 ) + 2 ) 16 n + 1 ⋅ 8 ( 2 n + 2 ) 16 n - 1 n x 2 n + 2

= lim n → ∞ ⁡ - x 2 n + 1 + 2 - 2 n - 2 ( 2 n + 2 ) ( 2 ( n + 1 ) + 2 ) 16

= lim n → ∞ ⁡ - x 2 ( 2 n + 2 ) ( 2 ( n + 1 ) + 2 ) 16

= x 2 lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 2 ) ( 2 ( n + 1 ) + 2 ) 16

= x 2 lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 2 ) 32 n + 64

= x 2 lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 2 ) 32 n + 64

Ficamos então com o seguinte:

x 2 lim n → ∞ ⁡ n + 1 16 n + 32

Passo 5

Para resolver esse limite podemos isolar n no numerador e no denominador, assim:

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n n 16 + 32 n

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 16 + 32 n

Quando n → ∞ os termos com n no denominador vão a zero então o limite fica igual a 16 , assim:

x 2 1 16 < 1

⇒ x 2 < 16

Com isso temos que R = 16 .

Passo 6

Agora para achar o intervalo de convergência, temos que avaliar os valores de x para que a inequação seja verdadeira, temos que:

x 2 < 16

⇒ x 2 < 16

⇒ x < ± 4

Com isso temos que:

- 4 < x < 4

Então o intervalo de convergência é dado por ( - 4 ,   4 ) .

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

ln ⁡ ( 16 + x 2 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 8 ( 2 n + 2 ) 16 n

O intervalo de convergência é ( - 4 ,   4 ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta? f x = ln ⁡ ( x 2 + 4 )
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ t g - 1 ( x 2 ) d x
Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta? f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 - x 3
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 t g - 1 ( x 3 )