Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Expresse a integral ∫ 0 1 3 x 2 1 + x 4 d x como soma de uma série numérica.

Passo 1

Ele pede para expressar essa integral como soma de uma série numérica. Para fazer isso vamos ter que nos apoiar em uma outra série que nós já sabemos o resultado da soma: a série geométrica.

Lembrando do resultado da série geométrica.

1 1 - r = ∑ n = 0 ∞ r n  

Substituindo r = - x 4

1 1 + x 4 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n

Como a série geométrica é válida quando r < 1 e a nossa integral é de 0 a 1/3, não teremos nenhum problema aqui.

Passo 2

Vamos montar a integral que queremos. Multiplicando a equação que encontramos por x 2

x 2 1 + x 4 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2

Já temos a equação e agora basta integrar.

∫ 0 1 3 x 2 1 + x 4 d x = ∫ 0 1 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 d x  

∫ 0 1 3 x 2 1 + x 4 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ∫ 0 1 3 x 4 n + 2 d x  

Já temos a equação e o que devemos integrar, agora basta resolvermos as integrais.

Passo 3

Calculando as integrais.

∫ 0 1 3 x 2 1 + x 4 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 3 4 n + 3 0 1 3  

Substituindo os valores teremos.

∫ 0 1 3 x 2 1 + x 4 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 4 n + 3 3 4 n + 3

Resposta

∫ 0 1 3 x 2 1 + x 4 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 4 n + 3 3 4 n + 3

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