Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Encontre uma representação em série de potencias em torno de x = 0 da função.

f x = x 7 ln ⁡ ( 1 + x 2 )

Sugestão: Utilize o teorema de integração de séries de potências ∫ 2 x 1 + x 2 d x

Passo 1

Vamos começar dando uma olhada na dica que o cara deu pra gente. Usar a integração de séries com isso aqui:

∫ 2 x 1 + x 2 d x

Bom, resolvendo essa integral chegamos ao seguinte:

u = 1 + x 2

d u = 2 x   d x

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + c = ln ⁡ 1 + x 2 + c

Opa! Interessante, apareceu o mesmo ln ⁡ 1 + x 2 que tem na nossa série!

Passo 2

Que tal tentarmos encontrar então a representação da função 2 x 1 + x 2 em séries de potência? Temos o seguinte:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

∑ n = 0 ∞ - x 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n = 1 1 - - x 2

∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n x 2 n + 1 = 2 x 1 - - x 2 = 2 x 1 + x 2

Beleza, encontramos! Agora a gente integra essa série!

Passo 3

∫ ∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n x 2 n + 1 d x = ∫ 2 x 1 + x 2

∑ n = 0 ∞ ∫ 2 - 1 n x 2 n + 1 d x = ln ⁡ 1 + x 2

∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n x 2 n + 2 2 n + 2 = ln ⁡ 1 + x 2 + c

Substituindo x = 0 obtemos:

c = 0

Portanto:

∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n x 2 n + 2 2 n + 2 = ln ⁡ 1 + x 2

Multiplicando ambos os lados por x 7 :

∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n x 2 n + 9 2 n + 2 = x 7 ln ⁡ 1 + x 2

Resposta

∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n x 2 n + 9 2 n + 2

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