Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

Ver Teoria

Enunciado

Questão 1: Considere as seguintes afirmações:

  1. Podemos construir uma série de potências com intervalo de convergência ] - ∞ ,   1 [ .
  2. Se ∑ n = 0 ∞ a n x n uma série de potências com raio de convergência R > 0 então a série
  3. ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

    Possui o mesmo raio de convergência.

  4. Se a série ∑ n = 0 ∞ a n 2 n converge então o raio de convergência da série de potências

∑ n = 0 ∞ a n x n

É maior ou igual a 2 .

Podemos afirmar que:

  1. Só (2) é verdadeira.
  2. Todas são verdadeiras.
  3. Só (2) e (3) é verdadeiras.
  4. Só (3) é verdadeira.
  5. Só (1) e (2) são verdadeiras.

Passo 1

Vamos analisar Item a item e verificar essa questão aí. Bora? Começando pelo Item 1 aqui então:

Podemos construir uma série de potências com intervalo de convergência ] - ∞ ,   1 [ .

Pow! Para termos um intervalo como esse, o raio teria que ser infinito, não é mesmo? Pois só com o raio infinito atingiríamos esse menos infinito aí. O problema é que com o raio infinito, o intervalo que teríamos seria:

] - ∞ ,   ∞ [

Pois Raio infinito faz com o intervalo seja infinito (em ambas as direções sempre). Então essa alternativa é Falsa.

Passo 2

Essa série aqui:

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

É a derivada dessa outra série aqui:

∑ n = 0 ∞ a n x n  

Ou seja:

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ a n x n '

Ora, quando derivamos uma função em um intervalo aberto ] a , b [ , a função que encontramos através da derivação, possui o mesmo intervalo aberto ] a ,   b [ . Isso é propriedade de derivadas na verdade, neh? Bem, Isso significa que essas duas funções soma aí em cima, possuem o mesmo intervalo aberto de convergência.

Infelizmente, a gente só não pode afirmar sobre as pontas a e b , mas isso nem é importante para o nosso problema, pois apenas sabendo que elas possuem o mesmo intervalo aberto de convergência, é o suficiente para afirmar que ambas possuem o mesmo Raio de convergência.

Passo 3

Ora, vamos fazer a seguinte consideração:

x ≤ 2

Então:

∑ n = 0 ∞ a n x n ≤ ∑ n = 0 ∞ a n 2 n

Porém o que significa x ≤ 2 assumindo que a série 2 n converge? Significa que a série ∑ n = 0 ∞ a n x n   tem um raio de convergência 2 , não é isso?

Então se a gente assumir agora que x ≥ 2 ...

∑ n = 0 ∞ a n x n ≥ ∑ n = 0 ∞ a n 2 n

E afirmarmos que essa série que tem o 2 n converge, isso só pode significar que a série do x n converge pelo menos dentro do intervalo:

- 2 < x < 2

Mas como x ≥ 2 , pode ser que ele convirja em um número b maior ou igual a 2 :

- b < x < b ,     o n d e       b ≥ 2

Nesse caso, o raio é de R = b , e, portanto: R ≥ 2 . Então a afirmação é verdadeira!

Resposta

c

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta? f x = ln ⁡ ( x 2 + 4 )
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ t g - 1 ( x 2 ) d x
Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta? f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 - x 3
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 t g - 1 ( x 3 )