Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Use uma série de potências para aproximar a integral ∫ - 0.2 0.6 x 2 1 + x 4 d x . Utilize em sua aproximação ao menos um polin��mio de grau 6 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Esta questão pede para que usemos uma série de potências para aproximarmos a seguinte integração

∫ - 0.2 0.6 x 2 1 + x 4 d x

Ou seja, devemos escrever o integrando acima como um polinômio da forma

x 2 1 + x 4 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 + a 6 x 6 + 𝓞 ( 7 )

Poderíamos fazer isso usando força bruta, como por exemplo, aplicando a definição de uma série de potências (Taylor ou Maclaurin) e calcular seis derivadas para obter todos os coeficientes. No entanto, pode ser de interesse partir de uma expansão de uma função mais simples, para obtermos uma que é mais complicada! Vamos usar aqui a série geométrica

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Consegue sacar a ideia? Vem comigo!

Passo 2

Vamos comparar as duas funções, nós temos a seguinte função para expandir

x 2 1 + x 4

comparando com a série geométrica, temos algumas diferenças, primeiro, ao invés de x é x 4 , também temos um sinal diferente no denominador e, por último, temos um x 2 no numerador. Vamos ver primeiro que diferença é causada quando mexemos no sinal! Vamos substituir em nossa série geométrica x = - y , ficando com

1 1 - x = 1 1 - ( - y ) = 1 1 + y

Isso é o lado direito da expansão (1), mas e o lado esquerdo? Temos que

1 1 + y = ∑ n = 0 ∞ ( - y ) n = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n y n

Ótimo, achamos que a nossa série irá alternar de sinal! Ainda temos algumas diferenças para trabalhar! Vamos lá!

Passo 3

Vamos agora colocar o nosso " x 4 " usando uma mudança da forma y = x 4 no resultado que obtivemos acima! Temos que

1 1 + y = 1 1 + x 4

agora se usarmos o mesmo em nosso somatório, temos que

1 1 + x 4 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( x 4 ) n = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 4 n

Começando a ficar melhor não é? Falta só mais um passo para obtermos a nossa série! Vamos lá!

Passo 4

A nossa função original tem um x 2 no numerador, portanto, vamos multiplicar ambos os lados do resultado que acabamos de obter por x 2 , temos que

( x 2 ) 1 1 + x 4 = ( x 2 ) ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 4 n

Como a soma é em n , podemos entrar com x 2 no somatório, e usar que x 2 x 4 n = x 4 n + 2 , para escrever

x 2 1 + x 4 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 4 n + 2

Obtendo então a nossa expansão em série de potências do integrando! Vamos usar isso agora para obter a aproximação de nossa integral! Vem comigo!

Passo 5

Primeiro, vamos expandir o nosso polinômio até uma ordem 6 , temos que

x 2 1 + x 4 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 4 n + 2 = ( - 1 ) 0 x 4 ( 0 ) + 2 + ( - 1 ) 1 x 4 ( 1 ) + 2 + . . .

Isso já é o suficiente, temos então que

x 2 1 + x 4 = x 2 - x 6 + 𝓞 ( 7 )

Substituindo este resultado em nosso integrando, temos que

∫ - 0.2 0.6 x 2 1 + x 4 d x ≈ ∫ - 0.2 0.6 ( x 2 - x 6 ) d x = ∫ - 0.2 0.6 x 2 d x - ∫ - 0.2 0.6 x 6 d x

Lembra como fazemos para calcular estas integrais? Bora lá!

Passo 6

Usando a seguinte identificação para as primitivas

∫ a b x n d x = 1 n + 1 [ x n + 1 ] | a b = 1 n + 1 [ b n + 1 - a n + 1 ]

para n = 2 , obtemos o seguinte resultado

∫ - 0.2 0.6 x 2 d x = 1 2 + 1 [ x 2 + 1 ] | - 0.2 0.6 = 1 3 [ ( 0.6 ) 3 - ( - 0.2 ) 3 ]

que pode ser aproximado como

∫ - 0.2 0.6 x 2 d x ≈ 1 3 [ 0.216 + 0.008 ] ≈ 0.075

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ - 0.2 0.6 x 2 d x ≈ 0.075

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