Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

A função f ( x ) dada pela série f x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

É solução de qual equação diferencial?

  1. y ' ' + y ' = 0
  2. y ' ' + y = 0
  3. y ' + y = 0
  4. y ' ' + x y = 0
  5. y ' ' - y = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função em termos de série

f x = �� n = 0 ∞ x n n !

Você sabe identificar qual é a forma analítica dessa função? Vamos relembrar da série de Maclaurin!

f x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 x 2 2 ! + f ' ' ' 0 x 3 3 ! + …

Quando temos f x = e x , as derivadas são todas iguais! E isso resulta nessa polinômio aqui

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x n n !

E é exatamente a série que temos!

Então precisamos descobrir de qual equação diferencial essa exponencial é solução!

Uma função é solução de uma equação diferencial quando, ao substituir a função e suas respectivas derivadas, encontramos uma igualdade! Então a ideia é essa: derivar e ir substituindo em cada uma das alternativas até achar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Como sabemos que nossa solução é a exponencial

y = e x

Sabemos que suas derivadas (de todas as ordens) são iguais

y ' = y ' ' = y ' ' ' = e x

Então para que seja solução, precisamos ter pelo menos um sinal negativo na EDO, pois assim vamos ter o corte dos termos, caso contrário eles irão se somar e não vai resultar em uma identidade

Beleza?

Vamos testar a EDO da letra (a)

y ' ' + y = 0

Sendo y = y ' ' = e x

e x + e x = 0

2 e x = 0

Como 2 ≠ 0 e e x ≠ 0 também, essa equação não tem solução, e portanto não é a EDO que queremos!

Passo 3

Agora que você entendeu o mecanismo, vou pular lá para a EDO da letra (e):

y ' ' - y = 0

Como y ' ' = y = e x , substituindo temos

e x - e x = 0

0 = 0

Ok! Encontramos uma identidade! Isso nos diz que y = e x é solução da equação diferencial y ' ' + y = 0 !

E a alternativa que nos diz isso é a (e)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( e )

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