Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Determine a série de Taylor da função f x = ln ⁡ 2 + x 2 2 - x 2   em torno do ponto x = 0 . Qual é o raio de convergência dela?

Passo 1

Aqui tem um truque rs Vamos escrever aquela função assim:

f x = ln ⁡ 1 + x 2 2 1 - x 2 2

Agora pensa numa função genérica

g y = ln ⁡ 1 + y 1 - y = ln ⁡ 1 + y - l n ⁡ ( 1 - y )

Derivando g ( y ) :

g ' y = 1 1 + y + 1 1 - y

Passo 2

Mas a gente já viu como representar esses caras em série:

1 1 + y = 1 1 - ( - y ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n y n

1 1 - y = ∑ n = 0 ∞ y n

Portanto:

g ' y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n y n + ∑ n = 0 ∞ y n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 y n

Nota o seguinte, o termo - 1 n + 1 só assume dois valores possíveis:

- 1 n + 1 = 0 ,     s e   n   é   í m p a r 2 ,     s e   n   é   p a r

Então podemos simplificar o somatório mostrando somente os termos pares. Pra isso, basta substituir - 1 n + 1 = 2 e n → 2 n . Logo:

g ' y = ∑ n = 0 ∞ 2 y 2 n ,     y < 1

Passo 3

Integrando dos dois lados com respeito a y :

∫ g ' y d y = ∑ n = 0 ∞ ∫ 2 y 2 n d y

Logo:

g y = ∑ n = 0 ∞ 2 y 2 n + 1 2 n + 1 ,     y < 1

Então nós temos que f x = g x 2 2 , que podemos expressar como:

f x = g x 2 2 = ∑ n = 0 ∞ 2 x 2 2 2 n + 1 2 n + 1 ,     x 2 2 < 1

= ∑ n = 0 ∞ x 4 n + 2 4 n ( 2 n + 1 ) ,     x < 2

Raio de convergência é 2 .

Resposta

∑ n = 0 ∞ x 4 n + 2 4 n 2 n + 1 ,     x < 2

r a i o   d e   c o n v e r g ê n c i a = 2

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