Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

USP - Cálculo 4 - P2 2013 - 1ª

Obtenha um expressão da série abaixo e o respectivo raio de convergência:

x 5 4 + x 9 8 + x 13 12 +

Passo 1

Colocando x em evidência:

x x 4 4 + x 8 8 + x 12 12 + = x n = 1 x 4 n 4 n

Então chamamos de g x = n = 1 x 4 n 4 n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Derivando g ( x ) :

g ' x = n = 1 x 4 n - 1 = x 3 + x 7 + x 11 + = x 3 1 + x 4 + x 8 +

Olhando para esse cara dentro do parênteses, vemos que é uma série geométrica e será dada por 1 1 - x 4 caso x 4 < 1 x < 1

Assim fica:

g ' x = x 3 1 - x 4 ,   - 1 < x < 1

Então vamos analisar g ( x ) através disso:

g x = 0 x g ' t d t = 0 x t 3 1 - t 4 d t

Fazendo a substituição simples: u = 1 - t 4 d u = - 4 t 3 d t

Assim fica:

- 1 4 0 1 - x 4 d u u = - 1 4 ln | 1 - x 4 |

Supondo que x < 1 , então podemos tirar o módulo

g x = - 1 4 ln ( 1 - x 4 )

Assim finalmente:

S x = - x 4 ln 1 - x 4 ,   x < 1

Passo 3

Como sabemos, precisamos testar os limites da série, ou seja, quando x = 1 e x = - 1

Para x = 1 a série fica:

S x = 1 n = 1 1 4 n 4 n = n = 1 1 4 n

E para x = - 1 :

S x = n = 1 - 1 4 n

Ambos são séries harmônicas de grau 1, logo divergem! Logo a resposta é

S x = - x 4 ln 1 - x 4 ,   - 1 < x < 1

Resposta

S x = - x 4 ln 1 - x 4 ,   - 1 < x < 1

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