Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Questão 9: A soma da série

∑ n = 2 ∞ n n + 1 3 n

É...

a ) 19 12

b ) 17 12

c ) 18 12

d ) 20 12

Passo 1

Primeiro devemos encontrar uma série em que a gente possa se espelhar para obter o resultado. Eu não sei quanto a você, mas estou com um forte pressentimento de que deveremos utilizar essa série aqui:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Pois se a gente deriva-las, veja o que a gente ganha:

∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = d d x 1 1 - x

Se derivarmos novamente...

∑ n = 2 ∞ n n - 1 x n - 2 = d 2 d x 2 1 1 - x

Pow! Se fizermos uma mudança de variável dessa forma aqui...

n - 1 = m       o u         n = m + 1

∑ m = 1 ∞ m + 1 m x m - 1 = d 2 d x 2 1 1 - x

Viu só? Como m é só um nome de um índice, podemos voltar a chama-lo de n ...

∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n - 1 = d 2 d x 2 1 1 - x

E mais, como estamos querendo a nossa série começando de 2 , podemos desemembrar o somatório até n = 2 ...

2 + ∑ n = 2 ∞ n + 1 n x n - 1 = d 2 d x 2 1 1 - x   →

∑ n = 2 ∞ n + 1 n x n - 1 = d 2 d x 2 1 1 - x - 2

Como...

d 2 d x 2 1 1 - x = d d x d d x 1 1 - x

E

d d x 1 1 - x = 1 1 - x 2

d d x 1 1 - x 2 = 2 1 - x 3

Então...

∑ n = 2 ∞ n + 1 n x n - 1 = 2 1 - x 3 - 2

Passo 2

Fazendo então...

x = 1 3   →

∑ n = 2 ∞ n + 1 n 1 3 n - 1 = 2 1 - 1 3 3 - 2

E simplificando...

∑ n = 2 ∞ n n + 1 3 n - 1 = 2 2 3 3 - 2

Veja que fizemos aquela propriedade de potência, onde:

1 3 n - 1 = 1 n - 1 3 n - 1

Como 1 n - 1 = 1 ...

∑ n = 2 ∞ n n + 1 3 n - 1 = 2 8 27 - 2

Saca? Agora outra propriedade que podemos utilizar aqui é de que 3 n - 1 = 3 n ⋅ 3 - 1 , como 3 - 1 é uma constante multiplicativa, ela pode vazar da série:

∑ n = 2 ∞ n n + 1 3 n ⋅ 3 - 1 = 27 4 - 2

1 3 - 1 ∑ n = 2 ∞ n n + 1 3 n = 27 - 8 4

Ora, 1 / 3 - 1 é a mesma coisa que 3 , por outra propriedade de potência (aqui estamos usando muitas dessas propriedades pro você ver como é importante aquela matemática de ensino médio ):

3 ∑ n = 2 ∞ n n + 1 3 n = 19 4 →

Passando o 3 dividindo...

∑ n = 2 ∞ n n + 1 3 n = 19 12

E ta aí! A resposta na letra a !

Resposta

a )   19 12

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