Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

  1. Represente a função
  2. f x = 1 1 + x 2

    Como uma série de potências de x , determinando o intervalo de convergência.

  3. Use o item a para obter uma série de potências para a função g x = x arctg ⁡ x , indicando também o seu intervalo de convergência.

Passo 1

a)

Bom, primeiro vamos reescrever f ( x ) de maneira esperta!

f x = 1 x 2 + 1 = 1 1 + x 2

Fizemos isso para deixarmos a função com a cara

1 1 - r

Isso porque essa expressão com r é a soma da série geométrica de razão r .

Comparando, podemos perceber que

- r = x 2

r = - x 2

Então, essa função é uma série geométrica de razão - x 2

f x = ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

Podemos dar uma arrumada nesse termo geral

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Passo 2

Agora que achamos a série, temos que achar o intervalo de convergência. Normalmente, pegaríamos aquele termo geral e aplicaríamos o teste da razão.

Mas nesse caso, como a nossa função é uma série geométrica, sabemos que essa série converge se

r < 1

Assim

- x 2 < 1

Temos

- x 2 = x 2

Então

x 2 < 1 → - 1 < x < 1

Esse é o nosso intervalo de convergência

- 1 < x < 1

Não precisamos testar as extremidades, porque na série geométrica, as extremidades não convergem.

Passo 3

b)

Vamos achar agora a série de potências de g x = x arctg ⁡ x . Como? WTF!!

Calma, vamos usar a dica que ele deu, que é usar o item a

Repara que

f x = 1 1 + x 2

Qual relação essa função tem com a g x ? Se fizermos a integral dessa f x , vamos achar arctg ⁡ x . Então podemos começar achando a série de potências de arctg ⁡ x

arctg ⁡ x = ∫ 1 1 + x 2 = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Vamos integrar esse polinômio

arctg ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 + C

Passo 4

Vamos achar esse C , para isso, vamos usar condições que sabemos de arctg ⁡ x

arctg ⁡ 0 = 0

Então

∑ n = 0 ∞ - 1 n 0 2 n + 1 2 n + 1 + C = 0

0 + C = 0

C = 0

Então

arctg ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Lembrando que quando integramos uma série de potência, seu intervalo de convergência não muda, então o intervalo de convergência dessa série é

- 1 < x < 1

Passo 5

Agora, estamos mais perto da nossa g x , o que falta é multiplicar arctg ⁡ x por x

Então

g x = x arctg ⁡ x = x ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 n + 1

E o intervalo de convergência não vai mudar, ou seja, ele vai ser

- 1 < x < 1

Resposta

a)

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Com intervalo de convergência

- 1 < x < 1

b)

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 n + 1

Com intervalo de convergência

- 1 < x < 1

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