Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

UFRJ - Cálculo 4 - P1 2012.2 - 2

Responda as seguintes questões:

  1. Sabendo que a função l n ( 1 + x ) é analítica para x < 1 , mostre que:
  2. ln 1 + x = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 + , x < 1

  3. Seja s ( x ) a soma da série x 2 2 - x 3 3 2 + x 4 4 3 - x 5 5 4 + ,   x < 1 . Determine a função s ( x ) em termos de funções elementares. Justifique.

Passo 1

Letra a)

Bom, precisamos escrever ln ( x + 1 ) como série de potências, para provar o que o problema pede.

A função f x = l n ( x + 1 ) não tem a mínima semelhança com a soma da série geométrica, não é? Não mesmo, mas veja o seguinte. Vamos derivar f ( x ) .

f ' x = 1 1 + x

Essa função derivada se parece muito com 1 / ( 1 - x ) , não é? E nós sabemos que:

n = 0 x n = 1 1 - x

Vamos então usar essa informação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos escrever a função derivada como uma série geométrica, para depois achar a representação de l n ( x + 1 ) por integração da série. Temos

f ' x = 1 1 + x = 1 1 - ( - x )

Como a razão é ( - x ) , temos:

f ' x = n = 0 - x n     x < 1

Certo?

Passo 3

Mas o que queremos é a representação de f ( x ) , não de sua derivada. Repare só, integrando ambos os lados da igualdade acima, temos:

f ' x   d x = n = 0 - x n   d x

f x = n = 0 - 1 n x n   d x = n = 0 - 1 n x n   d x

Assim, resolvendo essa integral, encontramos uma representação em série para f ( x ) . É como se estivéssemos integrando cada termo do somatório que representa f ' ( x ) . Veja:

f x = n = 0 - 1 n x n + 1 n + 1 = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 +

Passo 4

Letra b)

Nesse item precisamos de um pouco de atenção. Traduzindo o enunciado: o problema quer saber qual função s ( x ) que tem essa representação em série

s x = x 2 2 - x 3 3 2 + x 4 4 3 - x 5 5 4 +

Mas que diabos isso tem a ver com a letra a) da questão? Tudo! Se você reparar, a derivada dessa série é exatamente:

ln x + 1 = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 + = s ' ( x )

Eles até escreveram os denominadores fatorados, para a gente ver com mais clareza. Esse é o segredo da questão. Temos então:

s ' x = l n ( x + 1 )

Passo 5

Como queremos encontrar s ( x ) , vamos integrar essa equação dos 2 lados:

0 x s ' ( x ) = 0 x l n ( x + 1 )

Foi até ai? Colocamos a integral começando em zero para facilitar nossa vida e o intervalo final x genérico. Temos então:

s x - s 0 = 0 x l n ( x + 1 )

Como s 0 = 0 (a soma de zero termos é zero):

s x = 0 x l n ( x + 1 )

Agora vamos integrar por partes. Fazendo:

ln x + 1 = u           1 x + 1 = u '

1 = v '             x = v

Isso nos dá

s x = x ln ( x + 1 ) 0 x - 0 x x x + 1 d x

s x = x ln ( x + 1 ) - 0 x x x + 1 d x

Fazendo u = x + 1 , d u = d x , temos:

s x = x ln ( x + 1 ) - 1 x + 1 u - 1 u d u

s x = x ln ( x + 1 ) - 1 x + 1 1 - 1 u d u

s x = x ln ( x + 1 ) - ( u - ln u ) u = 1 u = x + 1

s x = x ln ( x + 1 ) - x + 1 + ln ( x + 1 ) + 1 - ln 1

s x = x ln ( x + 1 ) - x + ln ( x + 1 )

Resposta

b) s x = x ln ( x + 1 ) - x + ln ( x + 1 )

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