Exercícios Resolvidos de Dielétricos

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Enunciado

Considere um capacitor esférico de raio interno a e raio externo b com uma carga Q , conforme mostra a figura abaixo.

A região entre as placas do capacitor é preenchida por um dielétrico de constante dielétrica κ .

a Use a Lei de Gauss em meios dielétricos para mostrar que o módulo do campo elétrico E r entre as placas do capacitor é

E r = Q 4 π κ ϵ 0 r 2

b Calcule a capacitância deste capacitor.

c Justificando claramente sua resposta, determine a carga induzida q i n d na superfície interna do dielétrico, ou seja, em r = a .

Passo 1

a Use a Lei de Gauss em meios dielétricos para mostrar que o módulo do campo elétrico E r entre as placas do capacitor é

E r = Q 4 π κ ϵ 0 r 2

Em um meio dielétrico a permissividade passa a ser dada por:

ϵ = κ ϵ 0

A Lei de Gauss é dada por:

∮ E → ∙ d A → = q i n t ϵ = q i n t κ ϵ 0

Aplicando a Lei de Gauss na região esférica entre as duas superfícies, teremos:

E r × 4 π r 2 = Q κ ϵ 0

E r = Q 4 π κ ϵ 0 r 2

Passo 2

b Calcule a capacitância deste capacitor.

Como já temos o campo elétrico, o próximo passo para calcular a capacitância é o cálculo do potencial elétrico, dado por:

V b a = - ∫ a b E → ∙ d r →

V b a = - ∫ a b Q 4 π κ ϵ 0 r 2   d r  

V b a = - Q 4 π κ ϵ 0 ∫ a b d r r 2

V b a = Q 4 π κ ϵ 0   1 r a b = Q 4 π κ ϵ 0 1 b - 1 a

A capacitância é dada por:

C = Q V

Onde:

V = V b a = Q 4 π κ ϵ 0 1 a - 1 b = Q 4 π κ ϵ 0 b - a a b

Finalmente:

C = Q Q 4 π κ ϵ 0 b - a a b

C = 4 π κ ϵ 0 a b b - a

Passo 3

c Justificando claramente sua resposta, determine a carga induzida q i n d na superfície interna do dielétrico, ou seja, em r = a .

Voltando à Lei de Gauss. A constante dielétrica aparece em decorrência de cargas induzidas no interior do dielétrico.

Assim, junto à superfície de raio r = a e carga Q , será induzida uma carga q i n d .

Logo, aplicando novamente a Lei de Gauss, temos:

∮ E → ∙ d A → = Q κ ϵ 0 = Q + q i n d ϵ 0

Reorganizando isso, teremos:

q i n d = Q κ - Q

q i n d = - Q κ - 1 κ

Resposta

b

C = 4 π κ ϵ 0 a b b - a

c

q i n d = - Q κ - 1 κ

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