Exercícios Resolvidos de Dielétricos

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Enunciado

Considere um capacitor de placas paralelas preenchido por três dielétricos distintos ( κ e 1   = 3 ,   κ e 2 = 3   e   k e 3 = 1,5 ) , conforme demonstrado na figura abaixo. Sabendo que a distância entre as placas é 2 d e a área delas é A = 100 c m 2 , calcule a capacitância desse capacitor. Considere d = 10 μ m

Passo 1

Oi, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos lá? O problema nos deu um capacitor de placas paralelas preenchido com três dielétricos diferentes. E perguntou qual é o valor da capacitância equivalente nesse caso.

Nesse tipo de questão, o essencial é que você consiga desenhar esse capacitor como uma combinação de capacitores (em paralelo e em série) e ir calculando a equivalência desse aos poucos.

Então vamos começar redesenhando esse cara! Bom, primeiro vou inverter! Assim você vai conseguir ver melhor, saca só:

Ao virar esse capacitor de pé fica mais fácil enxergar que temos dois capacitores em série em cima (com as capacitâncias C 2 e C 3 ) e que estão em paralelo com o capacitor de baixo (com capacitância C 1 )

Beleza?

Então o que precisamos calcular é a capacitância equivalente desse capacitor!

Passo 2

A capacitância equivalente de dois capacitores ligados em série é a soma dos inversos:

1 C = 1 C a + 1 C b

Aqui a = 2 ,   b = 3 , então podemos calcular a capacitância dessa parte:

1 C 23 = 1 C 2 + 1 C 3 = C 3 + C 2 C 2 C 3

Então a capacitância equivalente é

C 23 = C 2 C 3 C 2 + C 3

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Com a capacitância C 23 calculada, podemos redesenhar o capacitor trocando C 2 e C 3 por um único capacitor C 23 :

C 1 e C 23 . Por fim, podemos ainda calcular a capacitância equivalente desses dois capacitores!

O equivalente da capacitância quando ligada em paralelo é a soma simples das capacitâncias! Então a capacitância equivalente desse capacitor é:

C = C 1 + C 23

Passo 4

Um capacitor de placas paralelas tem capacitância C igual a

C 0 = ϵ 0 A 2 d

Como temos um dielétrico k , então a capacitância é

C = k C 0

Embora a área das placas sejam as mesmas, as distâncias entre as placas não são. Vamos voltar ao desenho original e verificar isso:

A distância entre as placas para o capacitor C 1 é 2 d , já para os outros dois capacitores é d . Então o que precisamos fazer agora é calcular cada capacitância em função de d e A para depois substituir na expressão para a capacitância que encontramos no passo anterior! Beleza?

Passo 5

Começando pela capacitância C 1 : a distância entre as placas é 2 d e tem área A

C 1 = k e 1 ϵ 0 A ( 2 d ) = k e 1 2 C 0

Lembrando que C 0 = ϵ 0 A 2 d .

Agora para a capacitância de C 23 :

Lá do passo 2, a capacitância equivalente é

C 23 = C 2 C 3 C 2 + C 3

As distancias entre as placas é d e cada um tem seu dielétrico k 2 e e k 3 e .

Assim as capacitâncias são

C 2 = k 2 e ϵ 0 A d = k 2 e C 0

C 3 = k 3 e ϵ 0 A d = k 3 e C 0

E substituindo na expressão da capacitância equivalente

C 23 = ( k 2 e C 0 ) . ( k 3 e C 0 ) k 2 e C 0 + ( k 3 e C 0 ) = C 0 k 2 e k 3 e k 2 e + k 3 e

Beleza?

Passo 6

E agora a capacitância equivalente:

C = C 1 + C 23 = k e 1 2 C 0 + C 0 k 2 e k 3 e k 2 e + k 3 e = C 0 k 1 e 2 + k 2 e k 3 e k 2 e + k 3 e

E lembrando que C 0 = ϵ 0 A 2 d , então a expressão em termos dos parâmetros geométricos das placas é

C = ϵ 0 A 2 d k 1 e 2 + k 2 e k 3 e k 2 e + k 3 e  

Passo 7

O problema nos deu valores para os dielétricos, para a distância entre as placas e para a área. E perguntou o valor da capacitância. Agora é só substituir:

κ e 1   = 3 ,   κ e 2 = 3   e   k e 3 = 1,5

A = 100 × 10 - 4 m 2

d = 10 × 10 - 6 m

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12

A capacitância equivalente:

C = ϵ 0 A 2 d k 1 e 2 + k 2 e k 3 e k 2 e + k 3 e  

C = 8,85 × 10 - 12 . 100 × 10 - 4 2 . 10 × 10 - 6 3 2 + 3.1,5 3 + 1,5 = 11,1 n F

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

11,1 n F

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