Exercícios Resolvidos de Dielétricos

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Enunciado

Uma placa dielétrica de espessura b e constante dielétrica κ é introduzida entre as placas de um capacitor plano, as quais estão separadas pela distância d . Cada placa possui área igual a A . Mostre que a capacitância é dada por:

C = κ ϵ 0 A κ d - b κ - 1 .

Passo 1

Vamos olhar para a representação da figura abaixo.

Sem considerarmos a presença do dielétrico, a capacitância seria dada por:

C 0 = ϵ 0 A d .

Logo, a carga acumulada no capacitor pode ser escrita por:

Q 0 = C 0 V 0 ,

onde V 0 é a tensão antes de introduzir o dielétrico.

Passo 2

Considerando agora que o dielétrico foi colocado entre as placas, precisamos encontrar um novo valor de tensão, já que a carga irá permanecer constante.

Vamos usar a seguinte expressão:

V = - ∫ 1 2 E → ⋅ d l → = - ∫ 1 2 E . d l . cos ⁡ π .

Aqui, integramos da placa 1 até a placa 2 , como na figura. Temos:

V = ∫ 1 2 E . d l = E 0 d - b + E b ,

onde E 0 é o módulo do campo elétrico antes da presença do dielétrico e E é o módulo do campo elétrico depois da presença do dielétrico.

Passo 3

Bem, podemos calcular o valor de E como:

E = E 0 κ .

Substituindo na equação de V :

V = E 0 d - b + b κ .

Passo 4

Da definição de capacitância, temos que:

C = Q 0 V .

Substituindo os valores de Q 0 e V encontrados:

C = C 0 V 0 E 0 d - b + b κ .

Como a relação entre a tensão inicial e o módulo do campo inicial é dada por:

E 0 = V 0 d ,

teremos que:

C = C 0 E 0 d E 0 d - b + b κ ,

C = κ C 0 d κ d - b + b .

Usando a expressão calculada para C 0 no passo 1, chegamos a:

C = κ ϵ 0 A κ d - b κ - 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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