Exercícios Resolvidos de Dielétricos

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Enunciado

Considere um capacitor de placas paralelas cuja a área das placas é A e cuja distância entre as placas é d . Um dielétrico de constante dielétrica κ e espessura b , com κ > 1 e b < d , encontra-se centralizado entre as placas do capacitor. Suponha que a carga do capacitor seja q , com a placa superior positiva e a placa inferior negativa, como ilustrado na figura abaixo. Despreze efeitos de borda.

(a) Sem precisar demonstrar, escreva a capacitância para os casos b = 0 e b = d .

(b) Sem precisar demonstrar, e para um valor de b qualquer, indique: (i) o sinal das cargas induzidas nas superfícies superior e inferior do dielétrico; (ii) e a direção do campo elétrico em todas as regiões entre as placas do capacitor.

(c) Determine o módulo do campo elétrico dentro do dielétrico e entre o dielétrico e as placas do capacitor, para um valor de b qualquer.

(d) Determine a capacitância do capacitor para um valor de b qualquer.

(e) Encontre a carga induzida na superfície superior do dielétrico.

Passo 1

Para b = 0 , temos: C 0 = ϵ 0 A d .

Para b = d , ou seja, o espaço entre as placas está completamente preenchido com o dielétrico, temos: C = κ C 0 = κ ϵ 0 A d .

Passo 2

Bem, como a carga da placa superior do capacitor é positiva, a carga induzida na superfície superior do dielétrico será negativa. Da mesma forma, como a carga da placa inferior do capacitor é negativa, a carga induzida na superfície inferior do dielétrico será positiva.

O campo elétrico em todas as regiões é perpendicular às placas e aponta da placa positiva para a negativa.

A figura abaixo resume o que falamos aqui.

Passo 3

Entre o dielétrico e as placas, o campo elétrico E 0 →   pode ser calculado pela Lei de Gauss. Vamos utilizar a superfície gaussiana S 1 que mostramos na figura do item anterior.

Temos:

∮ S 1 E 0 → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0 → E 0 A = q ϵ 0 ,

E 0 = q ϵ 0 A .

Passo 4

Já no interior do dielétrico, o campo elétrico E 1 → é enfraquecido por um fator κ , ou seja,

E 1 → = E 0 → κ → E 1 = q κ ϵ 0 A .

Passo 5

Bem, a capacitância é dada por C = q V , onde V é a diferença de potencial entre as placas. Reescrevendo, temos V = q C .

Vamos utilizamos a expressão para o cálculo da diferença de potencial elétrica, dada por:

V = ∫ - + E → ∙ d l → = E 0 d - b + E 1 b ,

onde os sinais de negativo e positivo nos limites inferior e superior da integral representam as placas negativa e positiva, respectivamente.

Passo 6

Sabemos os valores de E 0 e E 1 do último passo, certo? Vamos substituir na expressão do Passo 1 para obter:

V = q ϵ 0 A d - b + q κ ϵ 0 A b .

Como V = q C ,

q C = q ϵ 0 A d - b + q κ ϵ 0 A b = q κ ϵ 0 A κ d - κ b + b ,

C = κ ϵ 0 A κ d - b + b .

Passo 7

Agora, queremos encontrar a carga induzida na superfície superior do dielétrico. Para isso, utilizamos, novamente, a Lei de Gauss com a superfície gaussiana S 2 mostrada no item (b):

∮ S 2 E → ∙ d A → = Q i n d ϵ 0 → E 1 - E 0 A = Q i n d ϵ 0 ,

onde já estamos considerando carga interna como a carga induzida Q i n d .

Isolando Q i n d na expressão acima e substituindo os valores de E 0 e E 1 já calculamos, chegamos em:

Q i n d = ϵ 0 A E 1 - E 0 ,

Q i n d = ϵ 0 A q κ ϵ 0 A - q ϵ 0 A = q 1 κ - 1 .

Resposta

(a) Para b = 0 , C = ϵ 0 A d . Para b = d , C = κ ϵ 0 A d .

(b) O sinal das cargas induzidas e a direção do campo elétrico são mostrados na figura do Passo 2.

(c) Os módulos de E 0 → (campo entre dielétrico e placas do capacitor) e E 1 → (campo dentro do dielétrico) são dados por:

E 0 = q ϵ 0 A ,

E 1 = q κ ϵ 0 A .

(d) A capacitância para um valor de b qualquer é dada por:

C = κ ϵ 0 A κ d - b + b .

(e) A carga induzida na superfície superior do dielétrico é dada por:

Q i n d = q 1 κ - 1 .

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