Exercícios Resolvidos de Dielétricos

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Enunciado

Na figura abaixo, dois capacitores de placas planas e paralelas A e B são ligadas em paralelo a uma bateria de 600 V . A área das placas dos capacitores é de 80   c m 2 e a distância entre as placas é de 3   m m .

O dielétrico do capacitor A é o ar, o do capacitor B é um material de constante dielétrica igual a   κ = 2,60 .

Determine o módulo do campo elétrico:

  1. No espaço entre as placas do capacitor A ;
  2. No espaço entre as placas do capacitor B ;
  3. Determine a densidade de cargas livres σ

  4. Na placa de maior potencial do capacitor A ;
  5. Na placa de maior potencial do capacitor B ;
  6. Determine a densidade de cargas induzida σ ' na superfície superior do dielétrico do capacitor B .

Passo 1

a) Determine o módulo do campo elétrico no espaço entre as placas do capacitor A ;

Podemos calcular o campo elétrico entre as placas do capacitor A através da relação:

E A = V A d

Se os dois capacitores estão em paralelo, então a diferença de potencial entre os dois é a mesma, logo:

V A = 600 V

d = 3 m m = 3 × 10 - 3   m

Agora sim!

E A = 600 3 × 10 - 3 = 2 × 10 5   V / m

Passo 2

b) Determine o módulo do campo elétrico no espaço entre as placas do capacitor B ;

Opa! Calma, rapaz, cuidado pra não se enrolar com uma besteira aqui...

Lembra o que falamos no caso anterior? Se os dois capacitores estão em paralelo, os dois tem a mesma diferença de potencial... então o modo de calcular o campo elétrico é o mesmo para o caso anterior:

E B = V B d = 600 3 × 10 - 3 = 2 × 10 5   V / m

Passo 3

c) Determine a densidade de cargas livres σ na placa de maior potencial do capacitor A ;

Primeiro vamos tentar usar algumas relações que já conhecemos pra simplificar a nossa vida.

Por definição, a densidade de cargas é dada por:

σ = Q A

Em um capacitor de placas planas e paralelas:

Q = C V

C = ϵ A d

Q = ϵ A V d

Logo:

σ = ϵ A V A d = ϵ V d

Como acabamos de ver:

E = V d

Por fim:

σ = ϵ E

Ou seja, só temos que pegar o valor do campo elétrico que acabamos de calcular e multiplicar pela permissividade do meio.

Passo 4

Para o capacitor A , como o meio entre as placas do capacitor é o ar:

ϵ = ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C 2 / N m 2

Agora ficou fácil.

σ A = ϵ 0 E A = 1,77 × 10 - 6   C / m 2

σ A = 1,77   μ C / m 2

Passo 5

d) Determine a densidade de cargas livres σ na placa de maior potencial do capacitor B ;

Nesse caso, como o meio entre as placas é o dielétrico de constante κ , a permissividade passará a ser:

ϵ = κ ϵ 0

ϵ = 2,6 × 8,85 × 10 - 12

ϵ = 2,301 × 10 - 11   C 2 / N m 2

Portanto:

σ B = κ ϵ 0 E B = 4,602 × 10 - 6   C / m 2

σ B = 4,602   μ C / m 2

Passo 6

e) Determine a densidade de cargas induzida σ ' na superfície superior do dielétrico do capacitor B .

Beleza! O que acontece aqui é o seguinte: A carga na superfície superior do dielétrico + Q B atrai a cargas negativas no dielétrico, induzindo uma carga - q ' a se localizar sobre a placa superior, conforme mostra a figura:

Usando a Lei de Gauss, temos que:

∮ E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Pra deixar logo todo mundo aqui com cara de densidade de carga, vou dividir esses caras pela área A .

ϵ 0 E B = σ B - σ '

σ ' = σ B - ϵ 0 E B

Onde:

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12 C 2 N m 2

E B = 2 × 10 5   V / m

σ B = 4,602   μ C / m 2 = 4,602 × 10 - 6   C / m 2

Portanto:

σ ' =   4,602 × 10 - 6 - 8,85 × 10 - 12 × 2 × 10 5

σ ' = 2,832 × 10 - 6   C / m 2

Como sabemos que q ' é negativo:

σ ' = - 2,832   μ C / m 2

Resposta

a.

E A = 2 × 10 5   V / m

b.

E B = 2 × 10 5   V / m

c.

σ A = 1,77   μ C / m 2

d.

σ B = 4,602   μ C / m 2

e.

σ ' = - 2,832   μ C / m 2

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