Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Achar a distância da origem a cada um dos planos

  1. π : 3 x - 4 y + 20 = 0
  2. π : x = 2 - h + 2 t y = 1 + 3 h - t z = - t

Passo 1

Como de praxe, vamos começar pela letra a.

Mais uma vez, usaremos a “formulosa”:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Mas agora  n → = ( 3 ,   - 4 ,   0 ) e d = 20 . Como o moço quer a distância até a origem, P = 0 ,   0 ,   0 .

Colocando na fórmula,

d P , π = 3 × 0 + - 4 × 0 + 0 × 0 + 20 3 2 + ( - 4 ) 2 + 0 2 = 20 25  

d P , π = 4   u . c

Passo 2

Agorinha, vamos fazer a letra b!

O nosso amigo quis complicar nossa vida e nos deu a equação paramétrica do plano, vamos ter que passar para a equação geral! Isso significa que precisamos achar um vetor normal ao plano e um ponto desse plano. A equação paramétrica dá para gente dois vetores paralelos (ao plano), sendo eles:

u → = - 1 ,   3 ,   0

v → = ( 2 ,   - 1 ,   - 1 )

Se nós buscamos o vetor normal, que é perpendicular ao plano e consequentemente perpendicular a   u → e   v → , é só fazer o produto vetorial   u → × v → que acharemos   n → !!

Obs: Se você deu aquela esquecida básica em vetores, o produto vetorial dá para gente um vetor perpendicular aos dois vetores que geraram ele. No nosso caso, vai gerar um vetor perpendicular a   u → e   v → , que é exatamente   n → 😉

Voltando a vaca fria...

Vamos fazer o produto vetorial!

u → × v → = i → j → k → - 1 3 0 2 - 1 - 1 = ( - 3 ,   - 1 ,   - 5 )

Show de bolinhas, já temos   n → = ( - 3 ,   - 1 ,   - 5 ) ! Vamos substituir na fórmula geral:

a x + b y + c z + d = 0

- 3 x - 1 y - 5 z + d = 0

Epa, quem é d ??

Calma, galeris! Para achar d é só substituir um ponto do plano. Olhando para a equação paramétrica achamos P p l a n o = ( 2 ,   1 ,   0 ) , logo

- 3 × 2 - 1 × 1 - 5 × 0 + d = 0 → d = 7

Passo 3

Agora sim podemos substituir tudo na fórmula e achar a bendita distância!

Se você é meio Dori e tem perda de memória recente (haha), a fórmula para distância entre ponto e plano é:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Sendo, nesse caso,   n → = ( - 3 ,   - 1 ,   - 5 ) e d = 7 . O ponto é a origem, logo P = 0,0 , 0 . Substituindo na fórmula:

d P , π = - 3 × 0 + - 1 × 0 + ( - 5 ) × 0 + 7 ( - 3 ) 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 5 ) 2 = 7 35 u . c

Resposta

  1. d P , π = 4   u . c
  2. d P ,   π = 7 35 u . c

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado. 3 , - 2,7 , 4 x - 6 y + z = 5