Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Seja Q = ( a , b , c ) o ponto simétrico de P = ( 1 , - 1,0 ) em relação ao plano

π :   x = 2 λ - μ   y = λ + μ z = 1 - λ ;                       λ ,   μ   ∈ R

Então a + b + c   é igual a:

Passo 1

Falaaa ai, blz???? Vamos começar essa questão achando a equação desse plano do tipo a x + b y + c z = d

Para isso basta “sumir” com λ   e   μ , dai ficará apenas x y e z relacionados. Basta pensar que π é interseção das 3 equações.

Da última equação temos que   λ = 1 - z , substituindo na primeira equação:

x = 2 1 - z - μ

μ = 2 - 2 z - x

Substituindo na segunda equação:

y = 1 - z + 2 - 2 z - x

x + y + 3 z = 3

Devemos lembrar que quando temos um plano do tipo a x + b y + c z = d o vetor ( a , b , c ) é normal ao plano. Logo, podemos concluir que ( 1,1 , 3 ) é perpendicular a π .

Passo 2

Agora vamos achar a reta que liga o ponto P ao seu ponto simétrico P’. Quando pensamos nessa reta, como P e P’ são simétricos em relação ao plano π , a reta que liga esses dois pontos é perpendicular ao plano, ou seja, o vetor ( 1,1 , 3 ) está na direção da reta que nos interessa.

Então se essa reta é paralela ao vetor (1,1,3) e sabemos que P pertence à reta, ela é do tipo:

r :   x = 1 + t y =   - 1 + t z = 0 + 3 t   ;           t ∈ R

Vamos fazer a interseção dessa reta com o plano, com isso iremos achar o ponto médio entre P e P’ e consequentemente achar P’.

1 + t + - 1 + t + 3 3 t = 3

t = 3 11

Logo o ponto de interseção do plano com a reta é 14 11 , - 8 11 , 9 11 = Q

Passo 3

Mas como foi dito, Q é o ponto médio entre P e P’, tomando P ' = a , b , c

Q = P + P ' 2

14 11 , - 8 11 , 9 11 = 1 , - 1,0 + a + b + c 2

Logo:

a + 1 2 = 14 11 b - 1 2 = - 8 11 c 2 = 9 11

Daqui tiramos que a , b , c = 17 11 , - 5 11 , 18 11 ,   l o g o   a + b + c = 30 11

Resposta

a + b + c = 30 11

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5