Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Considere a reta s : X = - 1 ,   2 ,   2 + t ( - 1 ,   1 ,   1 ) e o plano π : X = 1 ,   0 ,   0 + λ - 1 ,   0 ,   1 + μ ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ) .

a) Determine a equação geral do plano π .

b) Determine o ponto Q , intersecção do plano π com a reta s .

c) Determine o ponto P ∈ s correspondente a t = 2 e calcule a distância de P ao plano π .

Passo 1

a) A equação de π nos mostra que A = ( 1 ,   0 ,   0 ) é um ponto dele e que seus vetores diretores são u → = ( - 1 ,   0 ,   1 ) e v → = ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ) .

Pra que um ponto X = ( x ,   y ,   z ) pertença ao plano π , o produto misto [ A X → ,   u → ,   v → ] deve ser 0, então:

x - 1 y z - 1 0 1 2 - 1 - 1 = 0

Resolvendo o determinante, temos que a equação geral do plano π é

x + y + z - 1 = 0

Passo 2

b) Um ponto genérico da reta s é ( - 1 - t ,   2 + t ,   2 + t ) , vamos substituir esse ponto na equação do plano π para encontrar qual t satisfaz a intersecção s ∩ π :

x + y + z - 1 = 0

- 1 - t + 2 + t + 2 + t = 1

t = - 2

Substituindo t no ponto genérico, encontramos nosso ponto Q :

Q = ( 1 ,   0 ,   0 )

Passo 3

c) Para t = 2 , temos

P = - 1 ,   2 ,   2 + 2 ( - 1 ,   1 ,   1 )

P = ( - 3 ,   4 ,   4 )

A distância do ponto P ao plano π é

d P ,   π = - 3 + 4 + 4 - 1 1 2 + 1 2 + 1 2 = 4 3

Resposta

a) x + y + z - 1 = 0

b) Q = ( 1 ,   0 ,   0 )

c) d P ,   π = 4 3

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