Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

São dados as retas r : x = 1 + λ y = 1 z = λ e o plano π : 3 x + 2 y - 3 z = 5 e o ponto P = ( - 8 ,   - 6 ,   1 )

a) Determine a posição relativa entre r e π .

b) Determine a projeção P ' do ponto P sobre a reta r .

c) Determine a projeção P ' ' do ponto P sobre o plano π .

d) Determine o ângulo entre a reta r e a reta P ' P ' ' .

Passo 1

a) O vetor diretor de r é v r → = ( 1 ,   0 ,   1 ) e o vetor normal do plano é v n → = ( 3 ,   2 ,   - 3 )

Vamos testar o produto interno entre eles:

v r → . v n → = 1 ,   0 ,   1 . 3 ,   2 ,   - 3 = 0

Beleza, se o produto interno é 0, quer dizer que a reta r é perpendicular ao vetor normal do plano, ou sejaa: r é paralela ao plano ou está contida nele.

A gente tem que descobrir se ela é paralela (estando láá longe do plano) ou se ela ta dentro dele, pra isso a gente vai substituir algum ponto da reta na equação de π .

Se der uma igualdade verdadeira, a reta ta contida no plano, caso contrário, ela só é paralela mesmo.

Passo 2

Da equação da reta, a gente sabe que o ponto A = ( 1 ,   1 ,   0 ) pertence a ela, então vamos substituir esse ponto na equação do plano:

3.1 + 2.1 - 3.0 = 5

5 = 5

Boaaa, deu uma igualdade verdadeira!!

Isso quer dizer que todos os pontos de r também estarão no plano π , logo, r está contida em π .

Passo 3

b) P ' vai ser um ponto da reta que vai satisfazer a seguinte projeção:

P r o j v r → A P → = A P ' →

Ou seja, o vetor A P ' → vai ser a projeção de A P → no vetor v r → , que é o vetor diretor de r .

Ficou difícil de enxergar isso? Vamo ver na imagem

A reta r é a preta e o vetor laranja é A P → . A projeção desse vetor em v r → vai ser A P ' → , sendo que P ' é o ponto que a gente ta procurando ;)

Passo 4

Beleza, então vamo fazer a tal da projeção

P r o j v r → A P → = A P → . v r → v r → . v r → v r →

Sabemos que A P → = P - A = ( - 9 ,   - 7 ,   1 ) , então:

P r o j v r → A P → = ( - 9 ,   - 7 ,   1 ) . ( 1 ,   0 ,   1 )   1 ,   0 ,   1 . ( 1 ,   0 ,   1 )   ( 1 ,   0 ,   1 )

P r o j v r → A P → = A P ' → = ( - 4 ,   0 ,   - 4 )

Então

P ' = A P ' → + A = ( - 3 ,   1 ,   - 4 )

Passo 5

c) Vamos imaginar uma reta l que passe pelo ponto P e seja paralela ao vetor normal do plano π .

A intersecção dessa reta com o plano π vai ser o ponto P ' ' que estamos procurando.

A equação paramétrica dessa reta é

l :   x = - 8 + 3 t y = - 6 + 2 t z = 1 - 3 t

Pra encontrar a intersecção da reta l com o plano, vamos substituir seu x , y e z na equação do plano π :

3 ( - 8 + 3 t ) + 2 ( - 6 + 2 t ) - 3 ( 1 - 3 t ) = 5

t = 2

Substituindo t = 2 na equação de l , teremos que o ponto de intersecção vai ser

P ' ' = ( - 2 ,   - 2 ,   - 5 )

Passo 6

d) A gente ta querendo o ângulo entre v r → e P ' P ' ' →

Sabemos que P ' P ' ' → = P ' ' - P ' = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) . Pra calcular o ângulo entre eles vamos fazer o produto vetorial:

v r → . P ' P ' ' → = v r → P ' P ' ' → cos ⁡ θ

0 = v r → P ' P ' ' → cos ⁡ θ

Opa, o produto vetorial entre v r → e P ' P ' ' → é 0. Isso quer dizer que o ângulo entre eles é 90 ° :)

Resposta

a) r ⊂ π

b) P ' = ( - 3 ,   1 ,   - 4 )

c) P ' ' = ( - 2 ,   - 2 ,   - 5 )  

d) 90 °

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5