Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Considere o plano π : x + y - z + 1 = 0 e as retas concorrentes

r : x = y = z + 1     e   s :   x - y = 0 z + 1 = 0

Se P é o ponto na interseção de r e s , então a distância de P ao plano π é igual a:

a ) 3 3

b ) 2 3

c ) 1 6

d ) 1 3

e ) 2 6 .

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora começar mais um probleminha dessa prova, agora envolvendo distância de ponto para plano.

Primeiro, temos que descobrir quem é o ponto P para depois arrumarmos um jeito de calcular essa distância.

Bom, como P é o ponto de interseção das retas, podemos fazer:

P = ( x 0 , y 0 , z 0 )

Como P ∈ r ∩ s , em particular, temos que P ∈ r ,     o u   s e j a   x 0 = y 0 = z 0 + 1 , por isso:

P = ( x 0 , x 0 , x 0 - 1 )

Agora, pela mesma ideia temos que P ∈ s , ou seja:

x 0 - x 0 = 0 x 0 - 1 + 1 = 0

Por isso, temos que x 0 = 0 , ou seja:

P = ( 0,0 , - 1 )

Passo 2

Agora que temos o valor de P podemos calcular a distância para o plano, lembra como fazemos isso?

Para isso, vamos lembrar que se temos um plano do tipo:

a x + b y + c z = d

E um ponto P = ( x o , y 0 , z 0 ) podemos calcular a distância desse ponto ao plano pela seguinte relação:

d P , π = a x o + b y 0 + c z 0 - d a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Ou seja, basta aplicarmos isso para o plano π   e o ponto P

π : x + y - z = - 1   e   P = ( 0,0 , - 1 )

Ou seja:

d P , π = 1 0 + 1 0 - 1 - 1 - ( - 1 ) 1 2 + 1 2 + 1 2 = 2 3

E assim chegamos ao fim de mais um probleminha, bora para o próximo?

Resposta

Letra B

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5