Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Assuma V 3 orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em E 3 de base ortonormal e positiva.

A distância entre o ponto M = 0,1 , 2 e o plano

π : x = 2 + 2 s + 3 t y = s - 2 t z = 3 - s + t ,   s , t ∈ R

É

a) 8 75

b) 14 75

c) 12 75

d) 16 75

e) 4 75

f) 2 75

Passo 1

Oiii pessoal, belezinha? Vamos pra mais uma de distância entre ponto e plano 😉

Temos esse plano π :

π : x = 2 + 2 s + 3 t y = s - 2 t z = 3 - s + t

E o ponto M = 0,1 , 2

E aí queremos encontrar a distância entre M e π .

Tendo um plano de equação geral a x + b y + c z + d = 0 e um ponto x 0 , y 0 , z 0 , a distância entre eles vai ser:

d = a . x 0 + b . y 0 + c . z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Mas nesse exercício, nosso amigo complicou a nossa vida dando as equações paramétricas do plano hahaha

Então vamos primeiro procurar a equação geral de π . E aí depois usamos a fórmula de distância, ok?

Ta colega, mas como fazemos isso? Vamos lá entender!

Passo 2

Se um plano contém um ponto P = e , f , g e tem os vetores diretores u = u 1 , u 2 , u 3 e v = v 1 , v 2 , v 3 , suas equações paramétricas são

x = e + u 1 s + v 1 t y = f + u 2 s + v 2 t z = g + u 3 s + v 3 t

E aí podemos encontrar a equação geral a partir disso. A equação geral vai ser a x + b y + c z + d = 0 , onde:

a , b , c = u ∧ v

Ou seja, o vetor normal do plano é ortogonal aos vetores diretores dele

Tendo o vetor normal, podemos substituir o ponto e , f , g na equação para encontrarmos o valor de d 😉

Passo 3

Então vamos lá transformar essas equações paramétricas:

π : x = 2 + 2 s + 3 t y = 0 + 1 s - 2 t z = 3 - 1 s + t

Em uma equação geral

Comparando essas equações com a forma genérica que vimos no passo 2, temos que

- O ponto 2,0 , 3 está no plano π

- O plano tem vetores diretores u = 2,1 , - 1 e v = 3 , - 2,1

Então vamos começar encontrando o vetor normal do plano:

n = u ∧ v

O produto vetorial é dado por esse determinante:

n = i ^ j ^ k ^ 2 1 - 1 3 - 2 1

Calculando o determinante:

n = i ^ j ^ k ^ 2 1 - 1 3 - 2 1 i ^ j ^ 2 1 3 - 2 = 1 i ^ - 3 j ^ - 4 k ^ - 3 k ^ - 2 i ^ - 2 j ^

Então:

n = - i ^ - 5 j ^ - 7 k ^ = - 1 , - 5 , - 7

Logo, a equação geral do nosso plano vai ter esse formato:

π :   - 1 x - 5 y - 7 z + d = 0

Agora só falta encontrar o valor de d 😊

Passo 4

A equação geral do nosso plano vai ser assim:

π :   - 1 x - 5 y - 7 z + d = 0

E sabemos que o ponto x , y , z = 2,0 , 3 está nesse plano

Então, vamos substituir x = 2 , y = 0 , z = 3 :

- 1 ∙ 2 - 5 ∙ 0 - 7 ∙ 3 + d = 0

- 2 - 21 + d = 0

d = 23

Ebaaa, já temos o valor de d !!

Então encontramos a equação geral do plano:

π :   - 1 x - 5 y - 7 z + 23 = 0

Agora é só encontrar a distância desse plano até o ponto M = 0,1 , 2

Passo 5

Queremos encontrar a distância entre o plano π :   - 1 x - 5 y - 7 z + 23 = 0 e o ponto M = 0,1 , 2

Vamos substituir na fórmula lá do passo 1:

d = a . x 0 + b . y 0 + c . z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d = - 1 ∙ 0 - 5 ∙ 1 - 7 ∙ 2 + 23 - 1 2 + - 5 2 + ( - 7 ) ²

d = - 5 - 14 + 23 1 + 25 + 49

d = 4 75

Então, a distância entre o ponto e o plano é

d = 4 75

E a alternativa correta é a letra E

Resposta

e) 4 75

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5