Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Calcule a distância do ponto P = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) ao plano π : 3 x - 4 y - 5 z + 1 = 0 .

Passo 1

Vamos esquentar bem os motores??!!

O enunciado nos dá o ponto P = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) e a equação geral do plano π : 3 x - 4 y - 5 z + 1 = 0 e pede para calcularmos a distância entre o ponto e o plano. Opa!! Essa é a única fórmula que decorei!! Então, bora aplicá-la!!

Passo 2

Vimos na teoria que a fórmula para calcular a distância entre ponto e plano é:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Sendo que x 0 ,   y 0 ,   z 0 são as coordenadas do ponto e a ,   b ,   c e d são os coeficientes da equação geral do plano. Então, temos que:

P = 1 ,   2 ,   - 1 = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 )

π : 3 ,   - 4 ,   - 5 ,   1 = ( a ,   b ,   c ,   d )

Passo 3

Então, agora, só falta colocar os valores na fórmula e calcular:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2 = 3.1 + - 4 . 2 + - 5 . - 1 + 1 3 2 + ( - 4 ) 2 + ( - 5 ) 2

Resolvendo:

d P , π = 3 - 8 + 5 + 1 50 = 1 5 2 = 2 10

Pronto!! Chegamos na solução:

d P , π = 2 10

Resposta

d P , π = 2 10

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado. 3 , - 2,7 , 4 x - 6 y + z = 5