Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Considere o ponto P = - 1,1 , 1 e o plano π , definido por

x = - 1 + λ + 7 μ y = 1 - 2 λ + μ z = λ - 5 μ   λ , μ ∈ R

Então, a distância do ponto P ao plano π é igual a

a) 1 2

b) 2 3

c) 1 2  

d) 4 5

e) 2 3

Passo 1

E aíí pessoal, tudo certinho? Vamos lá que essa questão vai ser sobre distâncias!

Temos o plano π , definido assim:

x = - 1 + λ + 7 μ y = 1 - 2 λ + μ z = 0 + λ - 5 μ

E o ponto P = - 1,1 , 1

E aí queremos encontrar a distância entre eles

Caaalma que é tranquilo. Tendo um plano de equação geral a x + b y + c z + d = 0 e um ponto x 0 , y 0 , z 0 , a distância entre eles vai ser:

d = a . x 0 + b . y 0 + c . z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

O maior problema aqui é que ele não deu a equação geral do plano. Ele deu as equações paramétricas. Mas calma que é só encontrarmos o vetor normal desse plano e um ponto que ele passa. Aí conseguimos ter a equação geral, vamos lá?

Passo 2

Se um plano passa pelo ponto ( a , b , c ) e tem vetores diretores u 1 , u 2 , u 3 e v 1 , v 2 , v 3 , suas equações paramétricas vão ser

x = a + λ . u 1 + μ . v 1 y = b + λ . u 2 + μ . v 2 z = c + λ . u 3 + μ . v 3

Mas olha só, as equações do nosso plano são

x = - 1 + λ + 7 μ y = 1 - 2 λ + μ z = 0 + λ - 5 μ

Comparando com a equação ali de cima, podemos falar que nosso plano passa pelo ponto A = - 1,1 , 0 e vetores diretores u = 1 , - 2,1 e v = 7,1 , - 5

Para escrevermos a equação geral do plano π , precisamos do vetor normal n = ( a , b , c ) e um ponto que esse plano passa. O ponto já temos! Mas e o vetor normal?

O vetor normal é o produto vetorial dos vetores diretores:

n = u × v

Então vamos lá!

Passo 3

O vetor normal do plano π vai ser dado por esse determinante:

n = i ^ j ^ k ^ 1 - 2 1 7 1 - 5

Calculando o determinante:

n = i ^ j ^ k ^ 1 - 2 1 7 1 - 5 i ^ j ^ 1 - 2 7 1 = 10 i ^ + 7 j ^ + k ^ + 14 k ^ - i ^ + 5 j ^

n = 9 i ^ + 1 2 j ^ + 15 k ^

Então, o vetor normal do plano é

n = ( 9,12,15 )

Aí a equação geral do plano vai ter esse formato:

π :   9 x + 1 2 y + 15 z + d = 0

Como ele passa pelo ponto A = - 1,1 , 0 , podemos escrever

9 ∙ - 1 + 1 2 ∙ 1 + 15 ∙ 0 + d = 0

3 + d = 0

d = - 3

Então, a equação geral do plano vai ser

π :   9 x + 12 y + 15 z - 3 = 0

Passo 4

Showww, então temos um plano de equação π :   9 x + 12 y + 15 z - 3 = 0

E o ponto P = - 1,1 , 1 . E aí queremos encontrar a distância entre eles.

Usando a fórmula do passo 1, essa distância vai ser

d = a . x 0 + b . y 0 + c . z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d = 9 ∙ - 1 + 1 2 ∙ 1 + 15 ∙ 1 - 3 9 2 + 1 2 2 + 15 ²

d = - 9 + 12 + 15 - 3 81 + 144 + 225

d = 15 450

Podemos fatorar 450 = 25 ∙ 9 ∙ 2

d = 15 25 ∙ 9 ∙ 2

d = 15 25 . 9 . 2

d = 15 5 ∙ 3 . 2

d = 15 15 . 2

Então:

d = 1 2

Boaaa! A alternativa correta é a letra C 😊

Resposta

c) 1 2  

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5