Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Considere os pontos

P = ( 1 ,   2 ,   0 ) e Q = ( 2 ,   1 ,   1 ) ,

a reta r de equações paramétricas

r : 1 + t ,   2 + t ,   2 t ,   t ∈ R

e o plano p suja equação cartesiana é

p : x + 2 y + 3 z = 6

Considere o ponto A = ( 1 ,   0 ,   1 )

d) Determine a distância δ do ponto A ao plano p e um ponto L de p tal que a distância entre A e L seja δ .

Passo 1

Precisamos encontrar uma reta s perpendicular ao plano p que contenha o ponto A .

Como essa reta é perpendicular ao plano, seu vetor diretor é o vetor normal n = ( 1 ,   2 ,   3 ) , então

s : X = 1 ,   0 ,   1 + λ . ( 1 ,   2 ,   3 )

Vamos chamar de L o ponto de intersecção da reta s com o plano p . A distância δ entre A e p vai ser p módulo do vetor A E → .

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o ponto L , intersecção de s e p .

Um ponto genérico de s é L = 1 + λ ,   2 λ ,   1 + 3 λ , vamos substituir na equação de p para encontrarmos o λ que satisfaz a intersecção:

1 + λ + 2 . 2 λ + 3 ( 1 + 3 λ ) = 6

Resolvendo essa equação, encontramos

λ = 1 7

Então vamos substituir no ponto L e encontramos que nosso ponto de intersecção é

L = 8 7 , 2 7 , 10 7

Passo 3

Sendo L = 8 7 , 2 7 , 10 7 , temos que

A L → = L - A = 1 7 , 2 7 , 3 7

A distância δ que procuramos, é

δ = A L → = 1 7 2 + 2 7 2 + 3 7 2 = 2 7

Passo 4

O ponto de p que dista δ do ponto A é o próprio L = 8 7 , 2 7 , 10 7

Resposta

δ = A L → = 2 7

L = 8 7 , 2 7 , 10 7

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5